13. Równania różniczkowe

13.1. Zadania na zajęcia

Uwaga 13.5

Przyjmuje się, że kropka nad funkcją oznacza jej pochodną względem zmiennej \(t\):

\[\begin{aligned} \dot u = \Diff[t]{u}, \qquad \dot u(t) = \Diff[t]{u}(t), \qquad \ddot u = \Diff[t^2]{^2 u}, \qquad \ddot u (t) = \Diff[t^2]{^2 u}(t). \end{aligned}\]

Dla \(n\in \nn_0\), ogólną \(n\)-tą pochodną oznaczmy też standardowo:

\[\begin{aligned} u^{(n)} = \Diff[t^n]{^n u}, \qquad u^{(n)}(t) = \Diff[t^n]{^n u} (t). \end{aligned}\]

Ćwiczenie 13.12

Czy funkcja \(u(t) = \dfrac {\sin t} t\) jest rozwiązaniami równania różniczkowego \(t\dot u + u = \cos t.\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 11.1, Ćw. 12.5.

Ćwiczenie 13.13

Znajdź całkę szczególną zagadnienia Cauchy’ego:

1. \(u^2\cdot\dot u -3t^3 = 0\), \(\quad\) \(u(1) = 1\)

2. \((t^2+1)\dot u + 3u = 0\), \(\quad\) \(u(1)= e^{-\frac \pi 4}.\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 11.5, Ćw. 11.7, Ćw. 11.6.

Ćwiczenie 13.14

Rozwiąż równanie różniczkowe:

1. \(\dot u + 2t\cdot u = te^{-t^2}\)

2. \(t\cdot \dot u - 2u = 4 t^4.\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 11.8, Ćw. 11.9, Ćw. 11.6.

Ćwiczenie 13.15

Znajdź całkę szczególną zagadnienia Cauchy’ego:

1. \(\ddot u - 6\dot u +9 u = 0\), \(\quad\) \(u(0) = 0, \dot u(0)=1\)

2. \(\dot u -2 u = -4t+1\), \(\quad\) \(u(0) = 2\)

3. \(\ddot u - \dot u -6 u = 6e^t\), \(\quad\) \(u(0) = 1, \dot u(0)=0\)

4. \(\ddot u - 4\dot u +13 u = 40\sin t\), \(\quad\) \(u(0) = 1, \dot u(0)=0\)

5. \(\ddot u + 4u = 4\cos 2t\), \(\quad\) \(u(0) = 1, \dot u(0)=0.\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 12.6, Ćw. 12.7, Ćw. 12.2, Ćw. 12.1, Ćw. 12.4.

13.2. Zadania domowe

Ćwiczenie 13.16

Sprawdź, czy funkcje z podanej rodziny są rozwiązaniami równania różniczkowego, jeśli:

1. \(u(t) = c\cdot e^{-2t} + \frac 1 3 e^t\), \(\quad\) \(c\in\rr\) \(\quad\) dla równania \(\quad\) \(\dot u +2u = e^t\)

2. \(u(t) = c_1\cdot \sin 5t + c_2\cdot \cos 5t \), \(\quad\) \(c_1,c_2\in\rr\) \(\quad\) dla równania \(\quad\) \(\ddot u +25u = 0.\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 11.1, Ćw. 12.5.

Ćwiczenie 13.17

Znajdź całkę szczególną zagadnienia Cauchy’ego:

1. \(t\cdot \dot u =\tan u\), \(\quad\) \(u\left(2\right)=-\frac{\pi}{6}\)

2. \(\displaystyle \dot u \cdot\sin u + \frac{\cos u}{1+4t^2} = 0\), \(\quad\) \(u(0) = 2\)

3. \(\dot u -3 u = t\), \(\quad\) \(u(0) = -1\)

4. \(\dot u +3 u = 9t^2\), \(\quad\) \(u(0) = 2\)

5. \(\ddot u + 4\dot u + 4u = 0\), \(\quad\) \(u(0) = 1, \dot u(0)=1\)

6. \(\ddot u -3\dot u =3t + 1\) \(\quad\) \(u(0) = 0, \dot u(0)=1\)

7. \(\ddot u - 8 \dot u +17 u = t e^{4t}\) \(\quad\) \(u(0) = -1, \dot u(0)=0.\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 12.6, Ćw. 11.7, Ćw. 11.8, Ćw. 12.1, Ćw. 12.4.

Ćwiczenie 13.18

Rozwiąż równanie różniczkowe:

1. \(\displaystyle \dot u - \frac{2t}{1+t^2}\cdot u = 1 + t^2 \)

2. \(\dot u -2u = \cos t-t\sin t\)

3. \(\dot u + 4u = 5\sin 3t\)

4. \(\ddot u - 8 \dot u +17 u = e^{4t}\cdot \sin t\)

5. \(y''-7y'+12y=-e^{4x}\)

6. \(y''-4y'+3y=3xe^{2x}.\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 12.6, Ćw. 11.8, Ćw. 11.9, Ćw. 12.4.