9. Całka oznaczona Riemanna#
9.1. Definicja sumy całkowej Riemanna#
Definicja 9.1
Podziałem przedziału \([a,b]\) nazywamy skończony zbiór punktów \(\Delta_n = \Set{x_0, x_1,\ldots, x_n}\subseteq [a,b]\), przy czym
Narration
Zatem podział \(\Delta_n\) wyznacza zbiór \(n\) podprzedziałów \([x_{k-1}, x_k]\subseteq [a,b]\), dla \(k = 1, \ldots, n\), których suma daje cały przedział \([a,b]\).
Długość \(k\)-tego przedziału oznaczmy przez
Definicja 9.2
Średnicą podziału \(\Delta_n\) nazywamy liczbę
Przykład 9.1
Zapiszmy explicite wzór na punkt \(x_k\) podziału \(\Delta_n = \Set{x_0, x_1,\ldots, x_n}\) przedziału \([a,b]\) na \(n\) podprzedziałów równej długości.
Ponieważ składa się on z \(n\) odcinków równej długości, to
Zatem \((x_k)\) jest kawałkiem ciągu arytmetycznego o początkowym wyrazie \(x_0 = a\) i kroku \(\frac{b-a}{n}\), co implikuje:
Średnica tego podziału jest oczywiście równa \( \delta_n = \frac {b-a} n . \)
Definicja 9.3
Sumą całkową Riemanna funkcji \(f:[a,b] \to \rr\), odpowiadającą podziałowi \(\Delta_n\), nazywamy sumę iloczynów
gdzie dla każdego \(k = 1,\ldots, n\) wybieramy pewną wartość \( \xi*k \in [x*{k-1}, x_k].\)
Uwaga 9.1
Suma całkowa wyznacza sumę pól prostokątów o bokach \([x_{k-1}, x_k]\) i \([0,f(\xi_k)].\)
Przykład 9.2
Dla funkcji
obliczmy sumę całkową Riemanna odpowiadającą podziałowi \([0,t]\) na \(n\) podprzedziałów równej długości i \(\xi_k = x_k\).
Przyjmując \(a = 0, b=t\) otrzymujemy:
dla \(k = 1, \ldots, n\).
Stąd
9.2. Określenie całki oznaczonej Riemanna#
Narration
W dalszej kolejności interesować nas będą ciągi podziałów.
Każdemu ciągowi podziałów \((\Delta_n)\) przedziału \([a,b]\) odpowiada ciąg średnic \((\delta_n)\).
Definicja 9.4
Ciąg podziałów \((\Delta_n)\) przedziału \([a,b]\) nazywamy ciągiem normalnym , jeśli odpowiadający mu ciąg średnic \((\delta_n)\) jest zbieżny do \(0\) (tzn. \(\LimInfty{\delta_n} = 0\)).
Przykład 9.3
Ciąg podziałów przedziału \([a,b]\) na \(n\) podprzedziałów równej długości jest ciągiem normalnym.
Istotnie, \(\delta_n = \frac {b-a} {n} \LimToInfty{0}\).
Niech \( \Delta_n = \Set{0, \frac 1 {2^n}, \ldots, \frac 1 4, \frac 1 2, 1}, \) dla \(n\in \nn\), będzie podziałem przedziału \([0,1]\).
Zauważmy, że \(\delta_n = \frac 1 2\), więc \( \LimInfty \delta_n = \tfrac 1 2, \) czyli ciąg podziałów \((\Delta_n)\) nie jest normalny.
Definicja 9.5
Dla funkcji \(f: [a,b] \to \rr\), jeśli dla każdego ciągu normalnego \((\Delta_n)\) podziałów przedziału \([a,b]\) i każdego wyboru punktów \(\xi_k\), ciąg sum całkowych \((\sigma_n)\) jest zbieżny do tej samej granicy właściwej \(g\in\rr\), to nazywamy ją całką oznaczoną (Riemanna) funkcji \(f\) na przedziale \([a,b]\) i oznaczmy symbolem
Narration
Można zatem w skrócie napisać:
Definicja 9.6
Jeśli \(\displaystyle \IntDef{a}{b}{f(x)}\) istnieje, to: - funkcję \(f\) nazywamy podcałkową i mówimy, że jest całkowalna (w sensie Riemanna)
przedział \([a,b]\) nazywamy przedziałem całkowania
punkty \(a, b\) nazywamy odpowiednio dolną i górną granicą całkowania.
Narration
Do tego miejsca całka oznaczona \(\displaystyle \IntDef{a}{b}{f(x)}\) określona była dla \(a < b\).
Definicja 9.7
Jeśli \(a > b\), to definiujemy
Ponadto dla dowolnej funkcji \(f\) i \(a\in\rr\) przyjmujemy, że
Uwaga 9.2
Niech \(f:[a,b] \to \rr\) będzie nieujemną funkcją ciągłą.
Rozważmy figurę płaską
czyli obszar ograniczony przez: oś \(OX\), wykres funkcji \(f\), oraz proste \(x = a\) i \(x = b\).
Zauważmy, że w tym przypadku ciąg sum całkowych Riemanna dąży w granicy do pola \(D\).
Definicja 9.8
Pole figury \(D\) z powyższej uwagi definiujemy jako całkę oznaczoną
Przykład 9.4
Dla funkcji stałej \(f(x) = c\), \(x\in [a,b]\), obszar \(D\) jest prostokątem o podstawie \(b-a\) i wysokości \(c\), więc (dość łatwo można dowieść nawet z definicji, że)
\[\IntDef{a}{b}{c} = c \cdot(b-a).\]Dla danych z Prz. 9.2 mamy
\[ \LimInfty \sigma_n = \LimInfty \Paren{1 + \frac 1 n} \frac {t^2} 2 = \frac {t^2} 2. \]To oznacza, że jeśli
\[ \IntDef{0}{t}{x} \]istnieje, to jest równa \(\displaystyle \frac {t^2} 2\).
Aby to udowodnić należałoby policzyć granice dla wszystkich ciągów normalnych!
Wynik jest zgodny z interpretacją geometryczną całki oznaczonej, gdyż pole trójkąta o podstawie \(t\) i wysokości \(t\) jest równe \(\displaystyle \frac {t^2} 2\).
9.3. Podstawowe własności całki oznaczonej#
Twierdzenie 9.1 (warunek konieczny)
Jeśli funkcja \(f: [a,b] \to \rr\) jest całkowalna, to jest ograniczona.
Przykład 9.5
Istnieją funkcje ograniczone, które nie są całkowalne.
Dla przykładu, funkcja Dirichleta \(D: [a,b]\to \rr\),
Jeśli weźmiemy ciąg podziałów na \(n\) równych odcinków, i w każdym z nich będziemy wybierać \(\xi_k\in \qq\), to
jeśli zaś \(\xi_k\neq \qq\), to
Nie istnieje ta sama granica dla każdego ciągu normalnego.
Twierdzenie 9.2
[warunek dostateczny] Jeśli funkcja \(f: [a,b] \to \rr\) jest ciągła poza skończoną liczbą punktów, to jest całkowalna na \([a,b]\) w sensie Riemanna.
Narration
Zbiór wszystkich funkcji całkowalnych na przedziale \([a,b]\) oznaczymy przez
Twierdzenie 9.3
Niech \(a,b\in\rr\) oraz \(f,g \in R[a,b]\).
Wówczas:
jeśli \(f\) i \(g\) różnią się w skończonej liczbie punktów, to \(\displaystyle \IntDef{a}{b}{f(x)} = \IntDef{a}{b}{g(x)}\ \)
jeśli \(\forall x\in [a,b] \ f(x) \leq g(x)\), to \(\displaystyle \IntDef{a}{b}{f(x)} \leq \IntDef{a}{b}{g(x)}\)
jeśli \(c \in (a,b)\), to \(f|_{[a,c]} \in R[a,c]\), \(f|_{[c,b]} \in R[c,b]\) oraz
\[\IntDef{a}{b}{f(x)} = \IntDef{a}{c}{f(x)} + \IntDef{c}{b}{f(x)}\]ogólniej, jeśli \(a, b, c \in \rr\) i \(f \in R[\min(a,b,c), \max(a,b,c)]\), to
\[\IntDef{a}{b}{f(x)} + \IntDef{b}{c}{f(x)} + \IntDef{c}{a}{f(x)} = 0\]jeśli \(K \in \rr\), to \(K\cdot f, f \pm g, f\cdot g \in R[a,b]\) oraz
\[\begin{split} \IntDef{a}{b}{K\cdot f(x)} & = K\cdot \IntDef{a}{b}{f(x)} , \\ \IntDef{a}{b}{f(x) \pm g(x)} & = \IntDef{a}{b}{f(x)} \pm \IntDef{a}{b}{g(x)} \end{split}\]jeśli \(\alpha, \beta \in [a,b]\) i \(\alpha \leq \beta\), to \(f|_{[\alpha, \beta]} \in R[\alpha, \beta]\).
Przykład 9.6
Zazwyczaj
Dla przykładu, jeśli \(f(x) = g(x) = C\), dla pewnej stałej \(C\in\rr\), to
Równość zachodzi jedynie dla \(b-a = 1.\)
Uwaga 9.3
Niech \(f:[a,b] \to \rr\) będzie niedodatnią funkcją ciągłą.
Rozważmy figurę płaską
czyli obszar ograniczony przez: wykres funkcji \(f\), oś \(OX\), oraz proste \(x = a\) i \(x = b\).
Z 5. własności powyższego twierdzenia widać, że:
Ćwiczenie 9.1
Wykorzystując interpretację geometryczną całki oznaczonej obliczmy
Rozwiązanie
Na rysunku przedstawiamy wykres funkcji podcałkowej
(można przesunąć wykres funkcji \(|x|\) o wektor \((1,-1)\), lub przeprowadzić odpowiednie obliczenia), która jest ciągła więc \(f \in R[-3, 3]\).
Korzystając z własności całki oznaczonej wynika, że:
Na przedziałach \([-3,0]\) i \([2,3]\) funkcja \(f\) jest nieujemna, więc 1. i 3. całka to pola skrajnych trójkątów:
Natomiast na przedziale \([0,2]\) funkcja jest niedodatnia, więc 2. całka to pole środkowego trójkąta pomnożone przez \(-1\):
Stąd
9.4. Podstawowe twierdzenia rachunku całkowego#
Narration
Niech \(f\in R[a,b]\).
Ustalmy \(\alpha \in [a,b]\).
Wiemy, że dla każdego \(x \in [a,b]\) całka \(\displaystyle \IntDef[t]{\alpha}{x}{f(t)}\) ma ustaloną wartość liczbową.
Definicja 9.9
Funkcję \(F : [a,b] \to \rr\) zadaną wzorem
nazywamy funkcją górnej granicy całkowania .
Ćwiczenie 9.2
Znajdźmy i naszkicujmy wykres funkcji \(F:\rr\to \rr\),
Rozwiązanie
W celach pomocniczych na rysunku przedstawiamy wykres funkcji podcałkowej
która jest ciągła poza punktem \(0\), więc \(f \in R[a, b]\) dla dowolnych \(a,b \in \rr\).
Jeśli \(x \leq -1\), to na przedziale całkowania \([x, -1]\), \(f(t) = -1\), więc
\[ F(x) = \IntDef[t] {-1} x { -1 } = \IntDef[t] {x} {-1} { 1 } = -1-x. \]Jeśli \(-1 < x \leq 0\), to na przedziale całkowania \([-1, x]\), \(f(t) = -1\), więc
\[ F(x) = \IntDef[t] {-1} x { -1 } = - \IntDef[t] {-1} x { 1 } = -(x - (-1)) = -1 - x. \]Jeśli \(x > 0\), to
\[ F(x) = \IntDef[t] {-1} x { \sgn t } = \IntDef[t] {-1} 0 { -1 } + \IntDef[t] {0} x { 1 } = -1 \cdot 1 + x \cdot 1 = x-1 . \]
Podsumowując,
Zauważmy, że \(F\) jest ciągła i \(\displaystyle F' (x_0) = \sgn x_0 = f(x_0)\) dla \(x_0 \neq 0\).
Twierdzenie 9.4
Jeśli \(f \in R[a,b]\) i \(\alpha \in [a,b]\), to:
funkcja górnej granicy całkowania \(F\) jest ciągła;
(pierwsze tw. główne rachunku całkowego) w każdym punkcie \(x_0 \in [a,b]\) ciągłości funkcji \(f\), funkcja górnej granicy całkowania \(F\) jest różniczkowalna oraz
\[F'(x_0) = \Diff{} \IntDef[t]{\alpha}{x}{f(t)}\, \Big|_{x = x_0} = f(x_0).\]
Wniosek 9.5
Jeśli \(f : X \to \rr\) jest funkcją ciągłą, zaś \(g,h : [a,b] \to X\) funkcjami różniczkowalnymi, to w każdym punkcie \(x_0 \in [a, b]\) zachodzi
Ćwiczenie 9.3
Obliczmy pochodne funkcji:
\(\displaystyle F(x) = \IntDef[t]{1}{x}{e^{t^2}}\)
\(\displaystyle F(x) = \IntDef[t]{-1}{\sin x}{e^{t^2}}\)
\(\displaystyle F(x) = \IntDef[t]{1+x^2}{e^{2x}}{\frac {\sin t} {t}}.\)
Rozwiązanie
Ponieważ funkcja \(f(t) = e^{t^2}\) jest ciągła dla każdego \(t\in\rr\), to korzystając z pierwszego tw. głównego rach. całkowego otrzymamy
Funkcje \(\quad f(t) = e^{t^2},\ g(x) = -1,\ h(x) = \sin x \quad\) są różniczkowalne (więc ciągłe) dla każdego \(x\in\rr.\)
Z wniosku otrzymujemy, że
\[\begin{split} \Diff{} \IntDef[t]{-1}{\sin x}{e^{t^2}} & = f(h(x))\cdot h'(x) - f(g(x))\cdot g'(x) \\ & = f(\sin x)\cdot \cos x - f(-1)\cdot 0 = e^{\sin^2 x} \cos x . \end{split}\]Funkcja \(\quad f(t) = \dfrac {\sin t} {t} \quad\) jest ciagła dla \(t\neq 0\), zaś \(\quad g(x) = 1+ x^2,\ h(x) = e^{2x} \quad\) są różniczkowalne dla każdego \(x\in\rr\) i przyjmują wartości ściśle dodatnie, więc różne od 0. Zatem z wniosku otrzymujemy, że
\[\begin{split} \Diff{} \IntDef[t]{1+x^2}{e^{2x}}{\frac {\sin t} {t}} & = f(h(x))\cdot h'(x) - f(g(x))\cdot g'(x) \\ & = f(e^{2x})\cdot 2 e^{2x} - f(1+ x^2)\cdot 2x \\ & = \frac {\sin e^{2x}} {e^{2x}} \cdot 2 e^{2x} - \frac {\sin \Paren{1+ x^2}} {1+x^2} \cdot 2x = 2\sin e^{2x} - \frac {2x\sin \Paren{1+ x^2}} {1+x^2} . \end{split}\]
Ćwiczenie 9.4
Znajdźmy ekstrema funkcji \(\displaystyle F(x) = \IntDef[t]{1}{x^2}{\frac {\sin t} t}\) dla \(x\in \rr_+\).
Rozwiązanie
Funkcja \(\quad f(t) = \dfrac {\sin t} t \quad\) jest ciągła dla \(t > 0\), więc możemy ją całkować na przedziale o końcach \(1\) oraz \(x^2\) dla każdego \(x\in(0, +\infty)\).
Dla tych \(x\) mamy \(1,\ x^2 > 0\), więc
Pochodna istnieje dla \(x\in \rr_+\) więc znajdujemy punkty krytyczne:
Następnie liczymy drugą pochodną w każdym z tych punktów:
by wywnioskować, że:
dla \(k=2n\), \(F''(\sqrt{k\pi}) > 0\), więc \(F\) ma minimum lokalne dla \(x=\sqrt{2n\pi},\ n\in\nn\)
dla \(k=2k-1\), \(F''(\sqrt{k\pi}) < 0\), więc \(F\) ma maksimum lokalne dla \(x=\sqrt{(2n-1)\pi},\ n\in\nn.\)
Twierdzenie 9.6
Jeśli \(f:[a,b]\to \rr\) jest ciągła i \(\alpha,\beta \in [a,b]\), to:
\(F(x) = \displaystyle \IntDef[t]{\alpha}{x}{f(t)}\) jest funkcją pierwotną funkcji \(f\) na przedziale \([a,b]\)
(drugie tw. główne rachunku całkowego, tw. Newtona-Leibniza) zachodzi wzór
\[\IntDef{\alpha}{\beta}{f(x)} = F(x)\Big|_\alpha^\beta = F(\beta) - F(\alpha)\]jeśli \(\Phi:[a,b]\to \rr\) jest dowolną funkcją pierwotną funkcji \(f\), to
\[\IntDef{\alpha}{\beta}{f(x)} = \Phi(x)\Big|_\alpha^\beta = \Phi(\beta) - \Phi(\alpha) .\]
Ćwiczenie 9.5
Obliczmy całki oznaczone:
\(\displaystyle \IntDef{-\alpha}{\alpha}{\sin x}\) dla \(\alpha\in\rr\)
\(\displaystyle \IntDef{0}{2}{e^x\cdot\sgn(x-1)}\)
\(\displaystyle \IntDef{e^{-1}}{e}{\Absolute{\ln x}} .\)
Rozwiązanie
Rozbijamy całkę na dwie uwzględniając znak funkcji sinus:
\[ \IntDef{-\alpha}{\alpha}{\sin x} = \NewtonLeibniz{-\alpha}{\alpha}{-\cos x} = -\cos \alpha - \Paren{-\cos \Paren{-\alpha}} = 0. \]Zauważmy, że \( \quad e^x\cdot\sgn(x-1) = \begin{cases} -e^x & \text{dla } x-1 < 0 \Leftrightarrow x < 1 \\ e^x & \text{dla } x-1 > 0 \Leftrightarrow x > 1 \end{cases}. \quad \) Zatem
\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} \IntDef{0}{2}{e^x\cdot\sgn(x-1)}& = \IntDef{0}{1}{-e^x}+ \IntDef{1}{2}{e^x}\\ &= \Brack{-e^x}\Big|_{0}^{1}+ \Brack{e^x}\Big|_{1}^{2}= - e + 1 + e^2 - e\\ & = e^2 - 2e + 1 = \Paren{e - 1}^2. \end{aligned}\end{split}\]Przypomnijmy, że całkując przez części otrzymaliśmy, że
\[ \Int{\ln x} = x (\ln x - 1) + C. \]Ponieważ \(\quad \ln x > 0 \Leftrightarrow x > 1 \), \(\quad\) to
\[\begin{split} \IntDef{e^{-1}}{e}{\Absolute{\ln x}} & = \IntDef{e^{-1}}{1}{-\ln x} + \IntDef{1}{e}{\ln x} \\ & = -\NewtonLeibniz{e^{-1}}{1}{x (\ln x - 1)} + \NewtonLeibniz{1}{e}{x (\ln x - 1)} \\ & = -\Paren{ -1 + 2e^{-1} } + \Paren{ 0 + 1 } = 2 - 2 e^{-1} . \end{split}\]
9.5. Działania na całkach oznaczonych#
Twierdzenie 9.7 (o całkowaniu przez części)
Niech \(X\) będzie przedziałem domkniętym o końcach \(a,b \in \rr\) oraz \(f,g:X \to \rr\) będą różniczkowalne, \(f',g':X \to \rr\) będą ciągłe.
Wówczas
Uwaga 9.4
W powyższym twierdzeniu nie zakładamy, że \(a < b\).
Ćwiczenie 9.6
Policzmy całkę oznaczoną \(\displaystyle\IntDef{-\frac \pi 2}{\frac \pi 2}{(2x+1)\,\sin x} .\)
Rozwiązanie
Twierdzenie 9.8 (o całkowaniu przez podstawienie \(t=h(x)\))
Niech \(X\) będzie przedziałem domkniętym o końcach \(a,b \in \rr\) oraz:
funkcja \(h:X \to \rr\) jest różniczkowalna i \(h(X) = T\)
funkcja \(g:T \to \rr\) jest ciągła i ma funkcję pierwotną \(G:T \to \rr\)
funkcja \(f:X \to \rr\) jest postaci \(f(x) = g\circ h(x) \cdot h'(x)\).
Wówczas,
Uwaga 9.5
W powyższym twierdzeniu nie zakładamy, że \(a < b\) lub \(\alpha < \beta\).
Ćwiczenie 9.7
Policzmy całki oznaczone:
\(\displaystyle\IntDef{0}{1}{ \frac {x}{(2x^2 + 3)^2} } \)
\(\displaystyle\IntDef{-\pi}{\pi}{\frac {\sin x}{1 + 2\cos x + 3\cos^2 x}} .\)
Rozwiązanie
Standardowe podstawienie przy całkowaniu ułamka prostego drugiego rodzaju:
\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} \IntDef{0}{1}{ \frac {x}{(2x^2 + 3)^2} }& = \renewcommand{\log}{\ln}\WaveBrack{ t & = 2 \, x^{2} + 3 & x & = 0 \Rightarrow t = 3 \\ d t & = 4 \, x \, d x & x & = 1 \Rightarrow t = 5 \\ \tfrac 1 4\, dt & = x\, dx & & }\\ &= \IntDef[t]{3}{5}{ \frac {1}{t^2} \cdot \frac 1 4 }= \Brack{-\frac 1 4 t^{-1}}\Big|_{3}^{5}= -\frac 1 4 \Paren{\frac 1 5 - \frac 1 3} = \frac 1 {30} . \end{aligned}\end{split}\]Czasami śledzenie granic całkowania bardzo upraszcza zadanie:
\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} \IntDef{-\pi}{\pi}{\frac {\sin x}{1 + 2\cos x + 3\cos^2 x}} & = \renewcommand{\log}{\ln}\WaveBrack{ t & = \cos\left(x\right) & x & = -\pi \Rightarrow t = -1 \\ d t & = -\sin\left(x\right) \, d x & x & = \pi \Rightarrow t = -1 \\ - dt & = \sin (x) \, dx & & } \\ & = \IntDef[t]{-1}{-1}{\frac {1}{1 + 2 t + 3 t^2}\cdot (-} = - \IntDef[t]{-1}{-1}{\frac {1}{1 + 2 t + 3 t^2}} = 0 . \end{aligned}\end{split}\]
Twierdzenie 9.9 (o całkowaniu przez podstawienie \(x=\varphi(t)\))
Niech \(T\) będzie przedziałem domkoniętym o końcach \(\alpha, \beta\), \(X\) – przedziałem domkniętym o końcach \(a, b\) oraz:
funkcja \(\varphi:T \to \rr\) jest różniczkowalna, różnowartościowa i \(\varphi(T) = X\)
funkcja \(\varphi':T \to \rr\) jest ciągła;
funkcja \(f:X \to \rr\) jest ciągła.
Wówczas,
\[\begin{split} \IntDef{a}{b}{f(x)} & = \WaveBrack{ x & = \varphi(t) & x = a \Leftrightarrow t = \varphi^{-1}(a) = \alpha \\ dx & = \varphi'(t)\ dt & x = b \Leftrightarrow t = \varphi^{-1}(b) = \beta } = \IntDef[t]{\alpha}{\beta}{f(\varphi(t))\cdot \varphi'(t) } . \end{split}\]
Uwaga 9.6
W powyższym twierdzeniu nie zakładamy, że \(a < b\) lub \(\alpha < \beta\).
Ćwiczenie 9.8
Policzmy całkę oznaczoną \( \quad \displaystyle \IntDef{0}{2}{ \sqrt{4 - x^2} } \)
Rozwiązanie
9.6. Pole trapezu krzywoliniowego#
Narration
Dla ciągłych funkcji \(f, g:[a,b] \to \rr\) takich, że
rozważmy trapez krzywoliniowy
czyli obszar ograniczony przez: wykresy funkcji \(f\) i \(g\), oraz proste \(x = a\) i \(x = b\).
Pole figury \(|D|\) jest różnicą pól „pod wykresem funkcji \(f\)” i „pod wykresem funkcji \(g\)”, czyli
Ćwiczenie 9.9
Obliczmy pole figury ograniczonej krzywymi \(2y^2 = x, 8y = x^3\).
Rozwiązanie
W celu określenia parametrów \(a, b\in \rr\), znajdujemy punkty przecięcia krzywych:
\[\begin{split} \begin{cases} 2y^2 = x \\ 8y = x^3 \end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x= 2y^2 \\ 8y = 8y^6 \end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x= 2y^2 \\ y(y^5-1) = 0 \end{cases}. \end{split}\]Drugie równanie daje rozwiązania \(y\in \Set{0,1}\), więc szukane punkty przecięć to \((0,0)\) i \((2,1)\).
Stąd \(a = 0\), \(b = 2\).
Ponieważ \(x\geq 0\), więc \(8y = x^3 \geq 0\).
Przyjmujemy
\[ \begin{aligned} g(x) & = \frac 1 8 x^3, & f(x) & = \sqrt{\frac x 2}, \end{aligned} \]ponieważ
\[ g(x) \leq f(x) \qlq x^3 \leq 8\sqrt{\frac x 2} \qlq x^6 \leq 32 x \qlq x(x^5-2^5) \leq 0 \qlq x\in [0, 2]. \]Obliczamy pole:
Ćwiczenie 9.10
Obliczmy pole figury
Rozwiązanie
Na początku znajdujemy punkty przecięcia kawałków brzegów zadanych prze nierówności:
Drugie równanie daje rozwiązania \(x\in \Set{1,4}\), więc szukane punkty przecięć to \((1,-2)\) i \((4,4)\).
Z rysunku pomocniczego wnioskujemy, że istotny może być również wierzchołek obróconej paraboli, czyli punkt \((0,0)\).
Sposób 1. Zauważmy, że
więc posiłkują się rysunkiem przyjmujemy \(D = D_1 \cup D_2\), gdzie:
Stąd pole figury jest równe:
Sposób 2. Można zamienić rolami zmienne \(x\) i \(y\), czyli założyć, że rozpatrywane krzywe są wykresami funkcji \(x = f(y)\).
Zauważmy, że
więc (upewniając się na rysunku pomocniczym) otrzymujemy, że
Stąd pole figury jest równe:
9.7. Objętość bryły obrotowej#
Narration
Dla ciągłej i nieujemnej funkcję \(f: [a,b] \to \rr\) rozważmy bryłę obrotową \(V\) w \(\rr^3\) powstałą przez obrót wokół osi \(OX\) trapezu krzywoliniowego wyznaczonego przez \(f\).
Objętość bryły obrotowej \(V\) wyraża się wzorem
Uwaga 9.7
Powyższy wzór wynika z następującego rozumowania.
Dla dowolnego podziału \(\Delta_n = \Set{x_0, x_1,\ldots, x_n} \) przedziału \([a,b]\) i każdego wyboru punktów \(\xi_k\in [x_{k-1}, x_k]\) dla \(k = 1,\ldots, n\), definiujemy sumę
która jest sumą objętości walców o promieniu podstawy równym \(f(\xi_k)\) i wysokości \(\Delta x_k .\)
Widzimy, że suma \(S_n\) jest sumą całkową Riemanna odpowiadającą funkcji
Jest to funkcja ciągła, więc dla każdego ciągu normalnego \((\Delta_n)\) podziałów przedziału \([a,b]\) i każdego wyboru punktów \(\xi_k\), ciąg sum całkowych \(S_n\) jest zbieżny do tej samej granicy właściwej
Ćwiczenie 9.11
Obliczmy objętość stożka ściętego o promieniach podstaw \(R,r\in \rr_+\) i wysokości \(h\in \rr_+\).
Rozwiązanie
Bryła powstanie przez obrócenie trapezu krzywoliniowego wyznaczonego przez funkcję \(f\), którego wykresem jest prosta przechodzącą przez punkty \(A = (0, r)\) i \(B = (h, R)\):
gdzie dla przejrzystości zapisu przyjeliśmy \(\alpha = \dfrac {R - r} h\).
Zatem objętość tej bryły będzie równa:
9.8. Pole powierzchni obrotowej#
Narration
Dla różniczkowalnej i nieujemnej funkcji \(f: [a,b] \to \rr\) rozważmy powierzchnię obrotową \(S\) w \(\rr^3\), powstałą przez obrót wokół osi \(OX\) wykresu funkcji \(f\).
Pole powierzchni obrotowej \(S\) wyraża się wzorem
Ćwiczenie 9.12
Obliczmy pole powierzchni obrotowej powstałej przez obrót wokół osi \(OX\) wykresu funkcji: \( \quad f(x) = |x|^3,\quad x\in\Brack{-1, 1}. \)
Rozwiązanie
Z symetrii zagadnienia widzimy, że pole tej powierzchni jest dwókrotnością pola powierzchni obrotowej dla funcji:
Ponieważ \(f'(x) = 3 x^2\), to
9.9. Długość łuku#
Narration
Dla różniczkowalnych funkcji \(x, y: [a, b] \to \rr\), których pochodne są ciągłe, oraz
rozważmy gładki łuk (t.j. gładką krzywą bez samoprzecięć)
czyli przeciwdziedzinę funkcji \(F: [a, b] \to \rr^2, \ F(t) = (x(t), y(t))\).
Mówimy, że łuk \(\Gamma\) jest zadany parametrycznie przez: \(\quad x(t), y(t),\ t\in [a, b]\).
Narration
Długość gładkiego łuku \(\Gamma\) wyraża się wzorem
Przykład 9.7
GEOGEBRA Łuk okręgu o środku w punkcie \((x_0, y_0)\) i promieniu \(r > 0\), między kątami \(a,b \in \rr\), gdzie \(b - a \in (0,2\pi]\), jest zadany parametrycznie przez:
Ponieważ \( \quad x'(t) = -r \sin t,\ y'(t) = r \cos t\), \(\quad\) to długość tego łuku jest równa
W szczególności dla \(b-a = 2\pi\) otrzymujemy wzór na obwód koła o promieniu \(r\).
Ćwiczenie 9.13
Obliczmy długość łuku cykloidy zadanej parametrycznie dla ustalonego \(a\in\rr_+\) przez
Rozwiązanie
Funkcje \(x,y\) są różniczkowalne.
W celu skorzystania ze wzoru liczymy pochodne:
i obliczamy
Ponieważ dla \(t \in [0, 2\pi]\), \(\sin \tfrac t 2 \geq 0\), długość tego łuku jest równa
Narration
Jeśli funkcja \(f:[a,b]\to\rr\) jest różniczkowalna i \(f':[a,b]\to\rr\) jest ciągła, to jej wykres \(\Gamma\) jest łukiem gładkim zadanym parametrycznie przez:
Zatem wzór na długość tego łuku, czyli wykresu funkcji \(f\) przyjmie postać
Ćwiczenie 9.14
Obliczmy długość wykresu funkcji \(\displaystyle f(x) = \cosh x\), \(x\in [0,b]\), gdzie \(b\in\rr_+.\)
Rozwiązanie
Ponieważ \( \quad f'(x) = \sinh x\), \(\quad\) to długość wykresu tej funkcji jest równa