3. Ciągi liczbowe#
3.1. Definicja ciągu#
Definicja 3.1
Ciągiem liczbowym (w skrócie ciągiem ) nazywamy funkcję \(f:\nn \to \rr\).
\(n\)-tym wyrazem ciągu nazywamy wartość \(\, a_n = f(n)\), zaś sam ciąg oznaczamy przez
Przykład 3.1
Ciąg arytmetyczny. Przyjmujemy
\[a_n = a + (n-1)\cdot r,\]gdzie \(a\in\rr\) jest pierwszym wyrazem ciągu, \(r\in\rr\) – różnicą ciągu.
Ciąg geometryczny. Przyjmujemy
\[a_n = a\cdot q^{n-1},\]gdzie \(a\in\rr\) jest pierwszym wyrazem ciągu, \(q\in\rr\) – iloczynem ciągu.
Ciąg naprzemienny. Przyjmujemy
\[a_n = \cos(n\pi) = (-1)^{n}.\]Ciąg przydatny do definicji liczby Eulera, to
\[a_n = \left(1 + \frac 1 n\right)^n.\]
Narration
Ciąg możemy też zadać rekurencyjnie , to znaczy wyraz \(a_{n+1}\) uzależnić od wyrazów \(a_1,\ldots, a_{n}\).
Przykład 3.2
Ciąg arytmetyczny możemy zadać rekurencyjnie:
\[a_1 = a \qquad\text{i}\qquad a_{n+1} = a_n + r.\]Ciąg geometryczny możemy zadać rekurencyjnie:
\[a_1 = a \qquad\text{i}\qquad a_{n+1} = q\cdot a_n.\]Słynny ciąg Fibonacciego:
\[F_1 = F_2 = 1 \qquad\text{i}\qquad F_{n+2} = F_n + F_{n+1}.\]Inny przykład:
\[a_1 = 1, \qquad a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}.\]
Narration
Ponieważ ciąg jest funkcją, więc wszystkie definicje z poprzedniego rozdziału odnoszące się do funkcji, pozostają w mocy.
W szczególności będą nas interesować ciągi (nie)ograniczone i monotoniczne.
Warto zauważyć, że w przypadku ciągów, dla sprawdzenia monotoniczności wystarczy porównywać kolejne wyrazy.
Definicja 3.2
Ciąg \((a_n)\) jest:
rosnący \(\qlq \forall n\in\nn\ a_n < a_{n+1}\ \)
niemalejący \(\qlq \forall n\in\nn\ a_n \leq a_{n+1}\ \)
malejący \(\qlq \forall n\in\nn\ a_n > a_{n+1}\ \)
nierosnący \(\qlq \forall n\in\nn\ a_n \geq a_{n+1}\ \).
3.2. Granica ciągu#
Definicja 3.3
Granicą (skończoną lub właściwą) ciągu \((a_n)\) nazywamy liczbę \(g\in\rr\), jeśli
Jeśli granica istnieje, to piszemy:
i mówimy, że ciąg jest zbieżny (do granicy \(g\)).
Jeśli ciąg nie ma granicy, to mówimy, że jest rozbieżny .
Uwaga 3.1
Granica ciągu zbieżnego jest wyznaczona jednoznacznie.
Ciąg \((a_n)\) jest zbieżny do \(g\in\rr\) pod waruniem, że dla dowolnie małego \(\epsilon>0\), prawie wszystkie (tzn. wszystkie poza skończoną liczbą) jego wyrazy należą do otoczenia \(g\) o promieniu \(\epsilon\).
Przykład 3.3
Dla \(a_n = c\in \rr\), \(\displaystyle \lim_{n\to \infty} a_n = c\), bo \(|a_n - c| = 0 < \epsilon\) jest spełnione dla \(n\in \nn\).
Dla \(a_n = \frac 1 n\), \(\LimInfty a_n = 0\).
Wystarczy w definicji przyjąć \(n_\epsilon = \epsilon^{-1}.\)
Istotnie, dla \(n > \epsilon^{-1}\) mamy
\[\left|\frac 1 n - 0 \right| = \frac 1 n < \frac 1 {\epsilon^{-1}} = \epsilon.\]Dla \(a_n = (-1)^n\) granica nie istnieje.
Istotnie, biorąc \(\epsilon=\frac 1 2\) otrzymujemy
\[|a_n-g| < \epsilon \Leftrightarrow a_n -\frac 1 2 < g < a_n + \frac 1 2.\]To by oznaczało, że \(g > a_{2n} - \frac 1 2 = \frac 1 2\) i \(g < a_{2n+1} + \frac 1 2 = -\frac 1 2,\) co daje sprzeczność.
Stwierdzenie 3.1
Niech \(a>0\).
\(\LimInfty \sqrt[n]{a} = 1\)
\(\LimInfty \sqrt[n]{n} = 1.\)
Twierdzenie 3.2 (o działaniach arytmetycznych na granicach)
Niech \(c\in \rr\) oraz załóżmy, że istnieją skończone granice \(\LimInfty a_n = a\) i \(\LimInfty b_n = b.\)
Wówczas:
\(\LimInfty c\cdot a_n = c\cdot a\ \)
\(\LimInfty a_n \pm b_n = a \pm b\ \)
\(\LimInfty a_n \cdot b_n = a \cdot b\ \)
\(\LimInfty a_n^c = a^c\ \)
\(\LimInfty \frac{a_n} {b_n} = \frac a b\), jeśli tylko \(b_n,b\neq 0\ \).
Przykład 3.4
Licząc granicę nawet bardzo prostego ciągu, korzystamy z własności granic:
Stwierdzenie 3.3
\( \LimInfty a_n = 0 \Leftrightarrow \LimInfty |a_n| = 0.\)
\( \LimInfty a_n = g \Rightarrow \LimInfty |a_n| = |g|.\)
Jeśli \(\quad\LimInfty a_n = a, \quad \LimInfty b_n = b \quad\) oraz
\[ \Exists{ n_0 \in \nn} \Forall {n > n_0} \; a_n \leq b_n\]to \(\quad a \leq b\).
Twierdzenie 3.4 (o trzech ciągach)
Jeśli \(\quad\LimInfty a_n = g, \quad \LimInfty c_n = g \quad\) oraz
to \(\quad \LimInfty b_n = g\).
Ćwiczenie 3.1
Policzmy granicę ciągu \(b_n = \sqrt[n]{4^n + n^{20}\cdot 2^n + n^{2026}}\).
Rozwiązanie
Znajdziemy ciągi \(a_n\) i \(c_n\) spełniające założenia twierdzenia o 3. ciągach.
Zauważmy, że dla każdego \(n\in\nn\)
Korzystając z nierówności:
dostajemy
Korzystając z podanych granic ciągów:
oraz operacji na granicach widzimy, że
Zatem z twierdzenia o 3. ciągach
Wniosek 3.5
Jeśli \(\LimInfty a_n = 0\) i ciąg \((b_n)\) jest ograniczony, to \(\LimInfty a_n\cdot b_n = 0.\)
Ćwiczenie 3.2
Obliczmy granicę ciągu liczbowego:
\(\LimInfty \frac {\sin \Paren{n^2+\sqrt{n}}} {n}\)
\(\LimInfty \frac {2^n} {n!}\).
Rozwiązanie
Możemy skorzystać z wniosku.
Zauważmy, że
\[ \dfrac {\sin \Paren{n^2+\sqrt{n}}} {n} = \dfrac {1}{n} \cdot \sin \Paren{n^2+\sqrt{n}}, \]przy czym:
\(a_n = \dfrac 1 n \LimToInfty 0,\)
zaś \(\Absolute{\sin \Paren{n^2+\sqrt{n}}} \leq 1\), więc ciąg \(b_n = \sin \Paren{n^2+\sqrt{n}}\) jest ograniczony.
Przyjmijmy \(a_n = \dfrac 2 n\) oraz \(b_n = \dfrac {2^{n-1}} {(n-1)!}\) i zauważmy, że \(\dfrac {2^n} {n!} = a_n \cdot b_n. \)
Widzimy, że \(\LimInfty{a_n} = 0\) oraz
\[\begin{split} 0 < b_n = \dfrac {2^{n-1}} {(n-1)!} & = \dfrac 2 {n-1} \cdot \dfrac 2 {n-2} \cdot \ldots \cdot \dfrac 2 {3} \cdot \dfrac 2 {2} \cdot \dfrac 2 {1} \\ & < 1\cdot 1\cdot \ldots \cdot 1\cdot 1\cdot 2 = 2, \end{split}\]więc \(b_n\) jest ograniczony.
Zatem \(\LimInfty \frac {2^n} {n!} = 0\).
Twierdzenie 3.6
Jeśli ciąg monotoniczny (od pewnego miejsca) jest ograniczony, czyli
to jest zbieżny do granicy \(g\), przy czym \(\quad m \leq g \leq M\).
Przykład 3.5
Niech \(a_n = \left(1 + \frac 1 n\right)^n\) będą wyrazami ciągu.
Pierwszych 10 wyrazów to:
które w przybliżeniu są równe:
Można pokazać, że jest on rosnący i ograniczony (\(2 \leq a_n \leq 3\)).
Na mocy twierdzenia ma granicę w przedziale \([2,3]\).
Definicja 3.4
Liczbę Eulera definiujemy jako granicę
Podstawę \(e\) w funkcji wykładniczej \(e^x\) nazywamy naturalną (czyli jest to funkcja wykładnicza o podstawie naturalnej).
Podobnie logarytm o podstawie \(e\) nazywamy logarytmem naturalnym oznaczanym przez
3.3. Granica niewłaściwa#
Definicja 3.5
Rozbieżnym do plus nieskończoności nazywamy ciąg \((a_n)\), jeśli
Piszemy:
Rozbieżnym do minus nieskończoności nazywamy ciąg \((a_n)\), jeśli
Piszemy:
W obu przypadkach mówimy, że \((a_n)\) ma granicę niewłaściwą .
Przykład 3.6
Dla \(q>1\), \(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \log_q n = + \infty\).
Wystarczy w definicji przyjąć \(n_M = q^M.\)
Istotnie, ponieważ \(\log_q\) jest funkcją rosnącą dla \(q>1\) otrzymujemy
Analogicznie, dla \(0<q<1\), \(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \log_q n = - \infty\).
Tym razem korzystamy z tego, że \(\log_q\) jest funkcją malejącą.
Twierdzenie 3.7
Niech \(c > 0\) i załóżmy, że istnieją granice \(\LimInfty a_n = \LimInfty b_n = \pm \infty\) (obie takie same!).
Wówczas:
\(\LimInfty \frac 1 {a_n} = 0 \ \)
\(\LimInfty -a_n = \mp\infty \ \)
\(\LimInfty c\cdot a_n = \pm\infty \ \)
\(\LimInfty a_n + b_n = \pm\infty\ \)
\(\LimInfty a_n \cdot b_n = +\infty\ \).
3.4. Ważne przykłady granic#
Wskazówka
Zbierzmy najważniejsze podstawowe przykłady granic ciągów:
\(\LimInfty n^\alpha = \begin{cases} 0, & \text{dla } \alpha < 0 \\ 1, & \text{dla } \alpha = 0 \\ +\infty, & \text{dla } \alpha > 0 \end{cases} \)
\(\LimInfty q^n = \begin{cases} 0, & \text{dla } -1 < q < 1 \\ 1, & \text{dla } q = 1 \\ +\infty, & \text{dla } q > 1 \end{cases} \)
\(\LimInfty \log_q n = \begin{cases} -\infty, & \text{dla } 0 < q < 1 \\ +\infty, & \text{dla } q > 1 \end{cases} \)
\(\LimInfty \sqrt[n]{a} = 1\)
\(\LimInfty \sqrt[n]{n} = 1\)
\(\LimInfty \Paren{1 + \dfrac{1}{n}}^n = e\)
3.5. Symbole nieoznaczone#
Uwaga 3.2
W przypadku, gdy \(\LimInfty a_n = 0\), \(\LimInfty b_n = \pm\infty\), nie możemy bezpośrednio stwierdzić jaka jest granica \(\LimInfty a_n\cdot b_n\).
Istotnie,
jeśli \(a_n = \frac 1 n \xrightarrow[n \to +\infty]{}0\), \(b_n = n^2 \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty\), dostaniemy \(\LimInfty a_n\cdot b_n = +\infty\)
jeśli \(c\in\rr\setminus\Set{0}\), \(a_n = \frac 1 n \xrightarrow[n \to +\infty]{}0\), \(b_n = c\cdot n \xrightarrow[n \to +\infty]{} \sgn c \cdot \infty\), dostaniemy \(\LimInfty a_n\cdot b_n = c\)
jeśli \(a_n = \frac 1 {n^2} \xrightarrow[n \to +\infty]{}0\), \(b_n = n \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty\), dostaniemy \(\LimInfty a_n\cdot b_n = 0\).
Mówimy, że \(0\cdot\infty\) jest symbolem nieoznaczonym.
Definicja 3.6
Podstawowe symbole nieoznaczone to:
Ćwiczenie 3.3
Obliczmy granice ciągów będących ilorazem sum potęg o różnych podstawach:
\(\LimInfty \dfrac{2^n+4^n}{3\cdot 4^n+3^n}\)
\(\LimInfty \dfrac{5^n+2^n}{3^n+4^n}\)
\(\LimInfty \dfrac{4^n+2^n}{2^{2n+1}+3\cdot 4^n}.\)
Rozwiązanie
Kluczowa obserwacja: w sumie \(a^n+b^n\) (dla \(a,b>0\)) przy \(n\to\infty\) dominuje składnik o większej podstawie.
Należy wyciągnąć przed nawias potęgę o największej podstawie z licznika i mianownika.
W liczniku i mianowniku dominuje \(4^n\) (bo \(4>3\) oraz \(4>2\)):
\[ \LimInfty \frac{2^n+4^n}{3\cdot 4^n+3^n} = \LimInfty \frac{4^n\Paren{\Paren{\frac 2 4}^n + 1}} {4^n\Paren{3 + \Paren{\frac 3 4}^n}} = \LimInfty \frac{0+1}{3+0} = \frac 1 3. \]W liczniku dominuje \(5^n\), w mianowniku dominuje \(4^n\):
\[ \LimInfty \frac{5^n+2^n}{3^n+4^n} = \LimInfty \frac{5^n\Paren{\Paren{\frac 2 5}^n + 1}} {4^n\Paren{\Paren{\frac 3 4}^n + 1}} = \LimInfty \Paren{\frac 5 4}^n \cdot \frac{1+0}{1+0} = +\infty, \]ponieważ \(\frac 5 4>1\).
W liczniku dominuje \(4^n\) (bo \(4>2\)).
W mianowniku \(2^{2n+1}=2\cdot 4^n\), zatem \(2^{2n+1}+3\cdot 4^n=5\cdot 4^n\) i również dominuje \(4^n\) (bo \(4>2\)):
\[ \LimInfty \frac{4^n+2^n}{2^{2n+1}+3\cdot 4^n} = \LimInfty \frac{4^n+2^n}{5\cdot 4^n} = \LimInfty \frac{1+\Paren{\frac 2 4}^n}{5} = \frac 1 5. \]
Ćwiczenie 3.4
Policzmy granice:
\(\LimInfty \frac{1 + \ldots + n}{2n^2 + 4\sqrt n + 1}\)
\(\LimInfty \sqrt{n+2} - \sqrt{n}.\)
Rozwiązanie
Przypomnijmy, że \(1 + \ldots + n = \frac {n(n+1)} 2 \LimToInfty +\infty\), więc
\[\begin{split} \LimInfty \frac{1 + \ldots + n}{2n^2 + 4\sqrt n + 1} = \IndefiniteSymbol & = \LimInfty \frac {n(n+1)} 2 \cdot\frac{1}{2n^2 + 4\sqrt n + 1} \\ & = \LimInfty \frac{\cancel{n^2}\left(1 + \frac 1 n \right)} {\cancel{n^2} \left(4 + 8\cdot \frac 1 {n \sqrt n} + 2\cdot \frac 1 {n^2}\right) } = \frac 1 4. \end{split}\]Mamy symbol nieoznaczony \(+\infty - \infty\), którego pozbędziemy się mnożąc licznik i mianownik (równy 1) przez sprzężenie ciągu:
\[\begin{split} \sqrt{n+2} - \sqrt{n} & = \frac {\Paren{\sqrt{n+2} - \sqrt{n}}\Paren{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}} {{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}} \\ & = \frac {n+2 - n} {{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}} = \frac {2} {{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}} \LimToInfty \Brack{\frac 2 {+\infty}} =0. \end{split}\]
Stwierdzenie 3.8
Załóżmy, że \(\LimInfty a_n = 0\), \(\LimInfty b_n = \pm \infty\) oraz istnieje (niekoniecznie właściwa) granica \(c = \LimInfty a_n\cdot b_n\).
Wówczas
Uwaga 3.3
Jeśli chcemy skorzystać z tego stwierdzenia, musimy konicznie sprawdzić założenia!
W celu znalezienia wyrazów \(a_n\), warto uświadomić sobie, że \(\quad 1 + a_n = q_n \Leftrightarrow a_n = q_n -1.\)
Ćwiczenie 3.5
Policzmy granicę \(\LimInfty \Paren{\frac{n^2-n+2}{n^2+1}}^{2n+1}\).
Rozwiązanie
Sprawdźmy założenia stwierdzenia:
Możemy teraz obliczyć
Korzystając ze stwierdzenia otrzymujemy
3.6. Funkcje hiperboliczne#
Narration
Nim przejdziemy do omawiania granic funkcji, zdefiniujemy jeszcze jedną bardzo ważną rodzinę funkcji.
Są to funkcje hiperboliczne.
Definicja 3.7
Funkcja sinus hiperboliczny
jest rosnąca, zatem różnowartościowa, nieograniczona i nieparzysta.
\(R_{\sinh} = \rr\).
Definicja 3.8
Funkcja cosinus hiperboliczny
jest malejąca dla \(x < 0\), rosnąca dla \(x > 0\), ograniczona z dołu i parzysta.
\(R_{\cosh} = [1,+\infty)\).
Definicja 3.9
Funkcja tangens hiperboliczny
jest rosnąca, zatem różnowartościowa, ograniczona i nieparzysta.
\(R_{\tgh} = (-1,1)\).
Definicja 3.10
Funkcja cotangens hiperboliczny
jest malejąca dla \(x < 0\) i dla \(x > 0\), różnowartościowa, nieograniczona i nieparzysta.
\(R_{\ctgh} = \rr\setminus [-1,1]\).
Stwierdzenie 3.9
Funkcje hiperboliczne mają następujące własności:
\(\Ch^2 x - \Sh^2 x = 1\ \)
\(\Ch^2 x + \Sh^2 x = \Ch 2x\ \)
\(\Sh 2x = 2\Sh x \Ch x \ \)
\(\displaystyle {\Ch^2 x} = \frac 1 {1-\Th^2 x}\ \).