7. Zastosowania pochodnej#
7.1. Zadania na zajęcia#
Ćwiczenie 7.7
Wyznacz równania tych stycznych do krzywej
które są równoległe do prostej \(x+y=5\). Ponadto wyznacz równania prostych normalnych w znalezionych punktach.
Informacja
Warto spojrzeć na Ćw. 6.6.
Ćwiczenie 7.8
Wykaż, że:
\(\displaystyle 2\arctan x+\arcsin\left(\frac{2x}{x^2+1}\right)=\pi \quad\) dla \(x\geq 1\)
\(\displaystyle \frac{x}{x+1}\leq \ln(x+1) \quad\) dla \(x\geq 0\).
Ćwiczenie 7.9
Znajdź wartości ekstremalne funkcji \(f(x)= x^3 - 6|x|\) na zbiorze \(\left[-1, 2 \right]\).
Ćwiczenie 7.10
Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji \(f\), jeśli:
\(\displaystyle f(x)=x\cdot e^{-\frac{2}{x}}\)
\(\displaystyle f(x)=\frac{x}{(1+\ln x)^2}.\)
Ćwiczenie 7.11
Zapisz wzór Taylora rzędu 0, 1, 2, 3, 4 w punkcie \(x_0 = 1\) dla funkcji \(f(x) = x^4 - 4x^2.\) Jakie będzie rozwiniecie rzędu \(n \geq 5\)?
Informacja
Warto spojrzeć na Ćw. 7.1.
Ćwiczenie 7.12
Napisz ogólny wzór Maclaurina dla funkcji \(f(x)=\cos x\) i korzystając z niego podaj przybliżenie funkcji wielomianem stopnia 6. Oblicz z dokładnością \(10^{-6}\) przybliżoną wartość \(\cos \tfrac 1 {5}.\)
Informacja
Warto spojrzeć na Ćw. 7.1.
7.2. Zadania domowe#
Ćwiczenie 7.13
Wykaż, że:
\(\displaystyle \ln(x+1)\leq x \quad\) dla \(x\geq 0\)
\(2x\arctan x\geq\ln(x^2+1) \quad\) dla \(x\in\rr\)
\(\ln x <2\sqrt{x} \quad\) dla \(x>0\)
\(\displaystyle 2x<\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) \quad\) dla \(x\in (0, 1)\).
Informacja
Warto spojrzeć na Ćw. 6.9.
Ćwiczenie 7.14
Znajdź wartości ekstremalne funkcji:
\(f(x)= \sqrt{\sin x} \quad\) na zbiorze \(\left[0, \frac {3\pi} 4\right]\)
\(f(x)= |x - 2|\sqrt{2 x - 1} \quad\) na zbiorze \(\left[\frac 1 2, 3 \right]\)
\(f(x)= (x-1)^2 + 3\sqrt{x^2-2x + 1} \quad\) na zbiorze \(\left[0, 3 \right]\)
\(f(x)= \sqrt x + \sqrt{5-x^2} \quad\) na zbiorze \(\left[0, 2 \right]\)
\(f(x)= \sqrt{4-x^2} + \sqrt{5-x^2} \quad\) na zbiorze \(\left[-2, 2 \right]\).
Ćwiczenie 7.15
Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji \(f\), jeśli:
\(\displaystyle f(x)=\arccos\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\)
\(\displaystyle f(x)=\frac{e^{x^2+1}}{x^2-1}\)
\(f(x)=2\arctan x-x\)
\(\displaystyle f(x)=\frac 1 {\ln x + \ln (3 - x)} .\)
Ćwiczenie 7.16
Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji
Informacja
Warto spojrzeć na Ćw. 7.6.
Ćwiczenie 7.17
Napisz ogólny wzór Maclaurina dla funkcji
i korzystając z niego podaj przybliżenie funkcji wielomianem stopnia 4.
Informacja
Warto spojrzeć na Ćw. 7.1.