Szeregi Fouriera

16. Szeregi Fouriera#

16.1. Zadania na zajęcia#

Uwaga 16.1

W rozwiązaniach zadań mogą być przydatne:

  • obliczone na wykładzie rozwinięcia funkcji w szereg Fouriera;

  • fakt, że jeśli \(f\) jest funkcją całkowalną, okresową o okresie \(T>0\), to dla każdego \(t_0\in \rr\)

    \[\displaystyle \IntDef{t_0}{t_0+T}{f(x)} = \IntDef{0}{T}{f(x)}\]

  • wzory trygonometryczne:

    \[\begin{split}\begin{aligned} \sin \alpha \cdot \sin \beta & = \frac 1 2 \left( \cos (\alpha - \beta) - \cos (\alpha + \beta) \right) \\ \sin \alpha \cdot \cos \beta & = \frac 1 2 \left( \sin (\alpha - \beta) + \sin (\alpha + \beta) \right) \\ \cos \alpha \cdot \cos \beta & = \frac 1 2 \left( \cos (\alpha - \beta) + \cos (\alpha + \beta) \right) \\ \sin^2 \alpha & = \frac{1- \cos 2\alpha} 2 \\ \cos^2 \alpha & = \frac{1+ \cos 2\alpha} 2 \\ \sin \alpha \cos \alpha & = \frac{\sin 2\alpha} 2. \end{aligned}\end{split}\]

Ćwiczenie 16.1

Znajdź rozwinięcie w szereg Fouriera (w szczególności współczynniki \(a_n\) i \(b_n\)) funkcji \(f(x) = \cos x\) w przedziale \([-\ell, \ell]\) dla:

  1. \(\ell = 2\pi\)

  2. \(\ell = \pi\)

  3. \(\displaystyle \ell = \frac \pi 2\).

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 15.2, Ćw. 15.1.

Ćwiczenie 16.2

Rozwiń w szereg Fouriera (w szczególności podając współczynniki \(a_n\) i \(b_n\)) funkcję

\[f(x) = \cos(-3x) + \cos 8x + \sin(-3x) + \sin^2 4x\]

w przedziale \([-\pi,\pi]\), a następnie podaj wartości całek:

\[\begin{aligned} \frac 3 \pi \IntDef{-\pi}{\pi} {f(x) \cos 8x} \qquad \text{oraz} \qquad \IntDef{-\pi}{\pi} {f(x) \sin 8x}. \end{aligned}\]

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 15.3, Ćw. 15.1.

Ćwiczenie 16.3

Rozważmy funkcję \(f:(-\pi, \pi) \to \rr\), \(f(x) = x + 3\sin x\).

  • Pokaż, że \(f\) spełnia 1. i 2. warunek Dirichleta.

  • Rozszerz ją do funkcji \(f:[-\pi, \pi] \to \rr\) zadając wartości na końcach przedziału, tak by spełniała 3. warunek Dirichleta.

  • Rozwiń tę funkcję w szereg Fouriera w przedziale \([-\pi, \pi]\).

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 15.4, Ćw. 15.1.

Ćwiczenie 16.4

Rozwiń w szereg Fouriera funkcję \(f:(0, 2\pi)\to \rr,\)

\[f(x) = x + 3\sin x\]

rozszerzając ją do funkcji okresowej spełniającej warunki Dirichleta.

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 15.5, Ćw. 15.1.

16.2. Zadania domowe#

Ćwiczenie 16.5

Rozważmy funkcję \(f:(-\pi, \pi) \to \rr\), \(f(x) = 3x - \cos x\).

  • Pokaż, że \(f\) spełnia 1. i 2. warunek Dirichleta.

  • Rozszerz ją do funkcji \(f:[-\pi, \pi] \to \rr\) zadając wartości na końcach przedziału, tak by spełniała 3. warunek Dirichleta.

  • Rozwiń tę funkcję w szereg Fouriera w przedziale \([-\pi, \pi]\).

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 15.4, Ćw. 15.1.

Ćwiczenie 16.6

Rozwiń w szereg Fouriera funkcję

\[f(x) = \cos^2 4x - \sin x \cdot\cos 2x\]

w przedziale \([-\pi,\pi]\), a następnie podaj wartości całek

\[\begin{aligned} \IntDef{-\pi}{\pi} {f(x) \cos 3x} \qquad \text{oraz} \qquad \frac 1 {2\pi} \IntDef{-\pi}{\pi} {f(x) \sin 3x}. \end{aligned}\]

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 15.3, Ćw. 15.1.

Ćwiczenie 16.7

Wyznacz współczynniki \(a_0, a_1, a_2, b_{2019}\) rozwinięcia w szereg Fouriera funkcji \(f(x) = x - x\sin x\) w przedziale \([-\pi, \pi]\).

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 15.4, Ćw. 15.1.

Ćwiczenie 16.8

Rozwiń w szereg Fouriera funkcję \(f:(0, 2\pi)\to \rr\), \(f(x) = 3x - \cos 2x\), rozszerzając ją do funkcji okresowej spełniającej warunki Dirichleta.

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 15.5, Ćw. 15.1.

Ćwiczenie 16.9

Rozważ funkcję \(f:\Brack{-2\pi, 2\pi}\to \rr\),

\[\begin{split}\begin{aligned} \displaystyle f(x) = \begin{cases} A & \text{dla } x=0 \\ B & \text{dla } x\in \Set{-2\pi,2\pi} \\ -e^{x} & \text{dla } x\in (-2\pi,0) \\ e^{-x} & \text{dla } x\in (0,2\pi) \end{cases} . \end{aligned}\end{split}\]

  • Znajdź współczynniki \(A,B \in \rr\), tak aby \(f\) spełniała 2. i 3. warunek Dirichleta na \([-2\pi, 2\pi]\).

  • Oblicz współczynniki \(a_0, a_{4}, b_{4}\) rozwinięcia tej funkcji w szereg Fouriera.

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 15.4, Ćw. 15.1.