Całka oznaczona

10. Całka oznaczona#

10.1. Zadania na zajęcia#

Ćwiczenie 10.12

Niech \(f:[-a, a]\to\rr\), gdzie \(a>0\), będzie funkcją ciągłą w \([-a, a]\). Korzystając z własności całki oznaczonej wykaż, że:

  • \(\displaystyle \IntDef{-a}{a}{f(x)} = \IntDef{0}{a}{f(x)+f(-x)}\) ,

  • jeśli \(f\) jest funkcją parzystą, to \(\displaystyle \IntDef{-a}{a}{f(x)} = 2\cdot\IntDef{0}{a}{f(x)}\),

  • jeśli \(f\) jest funkcją nieparzystą, to \(\displaystyle \IntDef{-a}{a}{f(x)} = 0.\)

Jaka jest interpretacja geometryczna tych tożsamości?

Ćwiczenie 10.13

Niech \(f:\rr\to\rr\) będzie funkcją całkowalną w sensie Riemanna na dowolnym odcinku domkniętym. Korzystając z własności całki oznaczonej wykaż, że jeśli \(f\) jest funkcją okresową o okresie \(T>0\), to dla każdego \(t_0\in \rr\)

\[ \displaystyle \IntDef{t_0}{t_0+T}{f(x)} = \IntDef{0}{T}{f(x)} \ . \]

Jaka jest interpretacja geometryczna tej tożsamości?

Ćwiczenie 10.14

Wykorzystując interpretację geometryczną całki oznaczonej oblicz:

  1. \(\displaystyle \IntDef{-2}{0}{1 + |2x + 1|} + \IntDef{0}{2}{x-1}\)

  2. \(\displaystyle \IntDef{0}{5}{\min\Brace{2,|x-3|}-1 }.\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 9.1.

Ćwiczenie 10.15

Znajdź i naszkicuj wykres funkcji \(F:\rr\to \rr\), jeśli:

  1. \( \begin{aligned} F(x) & =\IntDef[t] {-2} x {f(t)} & \text{dla } f(t) & =\begin{cases} \tfrac 1 2 & \text{dla } |t|<1 \\ 0 & \text{dla } |t|\geq 1 \end{cases} ; \end{aligned} \)

  2. \( \begin{aligned} F(x) & =\IntDef[t] 0 x {f(t)} & \text{dla } f(t) & =\begin{cases} t+1 & \text{dla } t<0 \\ t-1 & \text{dla } t\geq 0 \end{cases} . \end{aligned} \)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 9.2, Ćw. 9.5.

Ćwiczenie 10.16

Nie obliczając całki zbadaj monotoniczność \(F:\rr\to \rr\),

\[F(x)=\displaystyle\IntDef[t] x {2x}{\frac{1}{t^2+2t+2}} \ .\]

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 9.4, Ćw. 9.3.

10.2. Zadania domowe#

Ćwiczenie 10.17

Wykorzystując interpretację geometryczną całki oznaczonej oblicz:

  1. \(\displaystyle \IntDef{-2}{2}{1 - |2x + 1|}\)

  2. \(\displaystyle \IntDef{-5}{0}{\max\Brace{1,|x+2|}-2}.\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 9.1.

Ćwiczenie 10.18

Znajdź i naszkicuj wykres funkcji \(F:\rr\to \rr\), \( \begin{aligned} F(x) = \IntDef[t] {-2} x { \min\Brace{0,1-|t|} } \end{aligned} \)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 9.2, Ćw. 9.1.

Ćwiczenie 10.19

Nie obliczając całki zbadaj monotoniczność \(F: \rr\setminus\Set{0}\to\rr\),

\[ F(x)=\IntDef[t] x {2x} {\frac{e^t}{t}} \ . \]

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 9.4, Ćw. 9.3.

Ćwiczenie 10.20

Korzystając z reguły de l’Hospitala oblicz granicę:

  1. \( \begin{aligned} \lim_{x\to \infty} \frac {\displaystyle \IntDef[t] {x^2}{x^2+1} {\ln(t+1)}}{x^2} \end{aligned} \)

  2. \( \begin{aligned} \lim_{x\to 0^+} \frac {\displaystyle \IntDef[t] 0 {\sin x} {\sqrt{\tan t}}} {\displaystyle \IntDef[t] 0 {\tan x} {\sqrt{\sin t}}} \end{aligned} \)

  3. \( \begin{aligned} \lim_{x\to \infty} \frac {\displaystyle\IntDef[t] {x^3} {5} {\arctan \left(t^2 \right)}} {x^3+x} \end{aligned} \)

  4. \( \begin{aligned} \lim_{x\to\infty} \frac {\displaystyle\IntDef[t] {e^x} {e^{3x}} {\frac{1} {\ln^3t}}} {e^{3x}}\ . \end{aligned} \)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 9.3, Ćw. 9.4.