11. Równania różniczkowe I#
11.1. Przykład równania różniczkowego: układ RC#
Narration
Rozważmy obwód elektryczny, w którym szeregowo połączone są:
źródło napięcia o sile elektromotorycznej \(e(t)\) zależnej od czasu \(t\in \rr\),
opornik o stałej rezystancji \(R>0\)
kondensator o stałej pojemności \(C>0\).
Zmienne napięcie między okładkami kondensatora oznaczmy przez \(u(t)\).
Prąd o zmiennym natężeniu \(i(t)\) płynie w obwodzie w kierunku zaznaczonym na schemacie.
Jeśli \(Q(t)\) oznacza ładunek na okładce kondensatora w chwili \(t\), to dla każdego \(t\in\rr\) mamy:
gdzie \(u_R(t)\) oznacza zmienne w czasie napięcie na oporności \(R\).
Zgodnie z drugim prawem Kirchoffa \(u(t) + u_R(t) = e(t)\).
Z tego otrzymujemy, że
Jeśli założymy, że funkcja \(e:\rr\to\rr\) jest określona, to otrzymaliśmy równanie na funkcję \(u:\rr\to\rr\), w którym występuje również pochodna \(\displaystyle \dot u = \Diff[t]{u}:\rr\to\rr\) tej funkcji.
Jest to przykład równania różniczkowego, które zwięźle możemy zapisać w postaci
Możemy zadać szereg pytań:
Czy istnieje funkcja \(u:\rr\to\rr\) spełniająca równanie (11.1)?
Jaki jest zbiór wszystkich funkcji \(u:\rr\to\rr\), które spełniają to równanie?
Zakładając dodatkowo, że dla \(t_0\in\rr\) ustalimy wartość \(u(t_0) = u_0\in\rr\), jakie będą odpowiedzi na powyższe pytania?
Jakie będą odpowiedzi na te pytania jeśli zawężymy dziedziny funkcji \(e\) i \(u\) do \(t\in[t_0,t_1]\), gdzie \(t_1 > t_0\)?
Nim odpowiemy na te pytania sformułujmy ogólne pojęcie równania różniczkowego.
11.2. Definicja równania różniczkowego#
Narration
Niech \(n\in\nn\).
Definicja 11.1
Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu \(n\) nazywamy równanie
w którym:
\(F:I\times X\to\rr\) jest funkcją określoną na dziedzinie \(I\times X\subseteq \rr\times\rr^{n+1}\)
\(t\in I\) jest zmienną niezależną określoną na przedziale \(I\)
\(u:I\to\rr\) jest funkcją zmiennej \(t\), dla której istnieją wszystkie pochodne do rzędu \(n\)
używamy oznaczeń \(\displaystyle\dot u = \Diff[t]{u}\), \(\displaystyle\ddot u = \Diff[t^2]{^2 u}\), etc..
Uwaga 11.1
Przymiotnik „zwyczajne” wskazuje, że występuje tylko jedna zmienna niezależna.
Rozważa się również równania różniczkowe cząstkowe, o większej liczbie zmiennych niezależnych.
Litery \(u\), \(t\) występujące w powyższej definicji są umowne i nawiązują do przykładu (11.1), jednakże czasami bardziej intuicyjnie jest rozważać równania, w których zamiast funkcji \(u(t)\) mamy \(y(x)\), \(x(t)\), \(v(t)\), etc..
Oznaczenie kropką pochodnej względem zmiennej oznaczonej literą \(t\), czyli \(\displaystyle\dot u = \Diff[t]{u}\), jest zwyczajowe.
W równaniach na funkcje zmiennej \(x\) stosujemy standardowe oznaczenie, czyli \(\displaystyle y' = \Diff{y}\) lub \(\displaystyle u' = \Diff{u}\), etc..
Definicja 11.2
Całką szczególną lub rozwiązaniem szczególnym równania różniczkowego (11.2) na przedziale \(I\subseteq\rr\) nazywamy dowolną funkcję \(u:I\to \rr\) taką, że
Wykres każdego takiego rozwiązania \( \Gamma = \Set{ (t,u(t)) : t\in I } \subseteq \rr^2 \) nazywamy krzywą całkową .
Przykład 11.1
Rozważmy „najprostsze” równanie różniczkowe pierwszego rzędu
na pewnym przedziale \(I\subseteq \rr\).
Zakładając, że funkcja \(u:I \to \rr\) jest różniczkowalna wiemy, że jest na tym przedziale stała, co zapisujemy:
Znaleźliśmy wszystkie całki szczególne rozważanego równania.
Ćwiczenie 11.1
Sprawdźmy, czy funkcja \(u(t) = c\cdot e^{6t}\), gdzie \(c\in\rr\), jest rozwiązaniem równania \(\ddot u -36u = 0\)?
Rozwiązanie
Obliczmy pochodne:
i wstawiamy do lewej strony równania:
Zatem dla każdego \(c\in \rr\) podana funkcja jest rozwiązaniem równania.
Ćwiczenie 11.2
Znajdźmy rozwiązania równania różniczkowego \(\dot u = t\sin t\) i przedstawmy na wykresie krzywe całkowe.
Rozwiązanie
Funkcja po prawej stornie równania jest ciągła, więc z definicji całki nieoznaczonej wynika, że:
gdzie \(C \in \rr\).
To są rozwiązania podanego równania.
Definicja 11.3
Dla ustalonych liczb \(t_0\in I\), \(u_0, u_1, \ldots, u_{n-1} \in \rr\), warunek:
dołączony do równania (11.2) nazywamy warunkiem początkowym Cauchy’ego .
Zagadnieniem Cauchy’ego nazywamy problem znalezienia całki szczególnej równania różniczkowego spełniającej dany warunek Cauchy’ego, czyli:
Ćwiczenie 11.3
Znajdź rozwiązanie zagadnienia Cauchy’ego: \(\quad \dot u = t\sin t,\quad u(\pi) = 0\).
Rozwiązanie
Wiemy, że rozwiązania mają postać \(\displaystyle \begin{aligned} u(t) = -t \cos\left(t\right) + \sin\left(t\right) + C,\ C\in \rr. \end{aligned}\) Warunek początkowy będzie spełniony jeśli
Zatem szukane rozwiązanie to
Definicja 11.4
Całką ogólną lub rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego (11.2) rzędu \(n\) nazywamy zbiór (rodzina) całek szczególnych tego równania \(\Solutions{}\) zależny od \(n\) parametrów, o tej własności, że dla każdego warunku początkowego Cauchy’ego
istnieje całka szczególna \(u\in \Solutions{}\) spełniająca ten warunek początkowy.
Narration
Rozwiązanie równania różniczkowego polega na znalezieniu jego całki ogólnej.
Przykład 11.2
Dla równania \(\dot u = 0\) całkę ogólną stanowi rodzina
Istotnie, dla dowolnego warunku początkowego Cauchy’ego \( u(t_0) = u_0 \in \rr, \) możemy przyjąć \(C = u(t_0) = u_0\).
Zatem całkę szczególną spełniającą ten warunek Cauchy’ego jest funkcja \(u:\rr \to \rr\), \(u(t) = u_0.\)
Ćwiczenie 11.4
Pokażmy, że zbiór rozwiązań równania różniczkowego \(\dot u = t\sin t\) znalezionych w Ćw. 11.2 jest rozwiązaniem ogólnym tego równania.
Rozwiązanie
Istotnie, warunek początkowy będzie spełniony jeśli
Zatem dla danych \(t_0, u_0 \in \rr\) rozwiązaniem będzie \(\displaystyle \begin{aligned} u(t) = -t \cos\left(t\right) + \sin\left(t\right) + u_0 + t_0 \cos t_0 - \sin t_0. \end{aligned}\)
Przykład 11.3
Całka ogólna równania różniczkowego nie musi zawierać wszystkich jego całek szczególnych.
Na przykład, dla równania \(\displaystyle \dot u = 3\cdot u^{\frac 2 3}\) mamy całkę ogólną
Istotnie, dla \(u \in \Solutions{}\) mamy
więc są to rozwiązania szczególne.
Ponadto
więc dla każdego warunku początkowych Cauchy’ego istnieje całka szczególna w \(\Solutions{}.\)
Jednakże funkcja \(u(t)\equiv 0\) jest również rozwiązaniem tego równania, lecz nie należy do \(\Solutions{}\).
11.3. Interpretacja geometryczna#
Narration
Załóżmy, że równanie różniczkowe pierwszego rzędu da się przedstawić w postaci
gdzie funkcja \(f:I\times U \to \rr\) jest ciągła; \(I, U \subseteq \rr\) są pewnymi przedziałami.
Jeśli funkcja \(u:I\to U\) jest rozwiązaniem tego równania, to styczna do jej wykresu w punkcie \((t_1, u(t_1))\) ma równanie
przy czym zgodnie z równaniem różniczkowym współczynnik nachylenia jest równy
Jeśli zaznaczymy na płaszczyźnie te proste styczne, to otrzymamy orientacyjną informację w jaki sposób przebiegają krzywe całkowe.
Przykład 11.4
Rozważmy równanie
Na powyższym rysunku czarnymi przedziałami zaznaczono schematycznie styczne do krzywych całkowych tego równania.
Zauważmy, że na każdej prostej poziomej \(u=u_1\) nachylenie prostych stycznych jest takie samo (współczynnik nachylenia jest równy \(-u_1\)), gdyż prawa strona równania zależy jedynie od zmiennej \(u\).
Kolorowe krzywe przedstawiają pewne krzywe całkowe.
Przebieg pozostałych można z grubsza wywnioskować na podstawie nachylania stycznych.
11.4. Przykładowe klasy równań#
Przykład 11.5
Jeśli „losowo” wybierzemy równanie różniczkowe zwyczajne, to najczęściej nie będziemy w stanie podać jawnej postaci jego rozwiązań.
Oto kilka klas równań, które umiemy rozwiązywać (i cześć z nich rozwiążemy w toku wykładu):
Równanie o zmiennych rozdzielonych, jeśli można je doprowadzić do postaci
\[\displaystyle \dot u = \frac {f(t)}{g(u)},\]gdzie \(f,g\) są funkcjami ciągłymi na pewnym przedziale, \(g\neq 0\).
Na przykład:
\[ \begin{aligned} \Diff[t]{u} & = u^2\cdot t , & RC\cdot \dot u + u & = 0 , & y' \cdot e^x - \sqrt y & = 0 . \end{aligned} \]Równanie liniowe pierwszego rzędu, jeśli można je doprowadzić do postaci
\[\displaystyle \dot u + p(t)\cdot u = f(t),\]gdzie \(p,f\) są funkcjami ciągłymi na pewnym przedziale.
Na przykład:
\[ \begin{aligned} \dot u - 2u & = e^{-t} , & RC\cdot \dot u + u & = e(t) , & y' \cdot e^x - y\cdot\cos x + \sqrt{x} & = 0 . \end{aligned} \]Równanie liniowe rzędu \(n\), jeśli można je doprowadzić do postaci
\[\displaystyle u^{(n)} + p_{n-1}(t)\cdot u^{(n-1)} + \ldots + p_1(t)\cdot \dot u + p_0(t)\cdot u = f(t),\]gdzie \(p_{n-1},\ldots, p_1, p_0 ,f\) są funkcjami ciągłymi na pewnym przedziale.
Na przykład:
\[ \begin{aligned} \ddot u + 3\dot u + u & = 0 , & \ddot u + 3\dot u + u & = e^{-t} , & \dddot u - \sin t \cdot \dot u & = \cos(3t) . \end{aligned} \]Równanie Bernoulli’ego, jeśli można je doprowadzić do postaci
\[\displaystyle \dot u = p(t)\cdot u + q(t)\cdot u^\alpha,\]gdzie \(p,q\) są funkcjami ciągłymi na pewnym przedziale, \(\alpha\in\rr\).
Na przykład:
\[ \begin{aligned} RC\cdot \dot u & = -u + e(t) , & \dot u - 2u & = \sin(3t)\cdot u^2 . \end{aligned} \]Jest wiele innych typów równań, które umiemy rozwiązywać oraz takie o rozwiązaniu których możemy tylko pomarzyć:
\[ \begin{aligned} (\dot u)^2 + \sqrt u\cdot e^{\pi t} & = \ln t & \sin(y') \cdot y'' - \arctg x & = 0 . \end{aligned} \]
11.5. Równania o zmiennych rozdzielonych#
Narration
Niech \(f: (a,b) \to \rr\), \(g: (c,d) \to \rr\) będą funkcjami ciągłymi, przy czym \(\forall u\in (c,d) \ g(u)\neq 0\).
Definicja 11.5
Równanie różniczkowe, które można doprowadzić do postaci
nazywamy równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych .
Narration
Rozwiązanie równania (11.3) znajdujemy mnożąc je obustronnie przez \(g(u)\), a następnie całkując względem \(t\):
Podstawiając w całce z lewej strony \(v = u(t)\), otrzymamy \(dv = \dot u (t)\ dt\), więc
Zauważmy, że tą samą zależność (jedynie z innymi oznaczeniami \(v=u\)) otrzymalibyśmy dostawiając obustronnie znak całki do równania (11.3) pomnożonego przez \(g(u)\, dt\)
Jeśli przez \(F, G\) oznaczymy funkcje pierwotne odpowiednio funkcji \(f, g\), to otrzymamy
gdzie \(C\in \rr\) jest stałą całkowania.
Jeśli funkcja \(G\) jest odwracalna na \((c,d)\), to w ostateczności otrzymamy całkę ogólną
Jeśli chcemy znaleźć całkę szczególną, możemy od razu posługiwać się całką oznaczoną.
Przyjmując warunek początkowy \(u(t_0) = u_0\) dostaniemy zależność
Ćwiczenie 11.5
Rozwiążmy równanie
Informacja
Pomoże rozwiązać Ćw. 13.13.
Rozwiązanie
Dla \(u\neq 0\) jest to równanie o zmiennych rozdzielonych, więc w tym przypadku obliczamy:
Zauważmy, że \( \quad t^2 + C \neq 0 \qlq t \neq \pm\sqrt{-C}\).
\(\quad\) Zatem
Dodatkowo, funkcja \(u(t) = 0\) również spełnia to równanie, więc jest jego rozwiązaniem.
Ćwiczenie 11.6
Znajdźmy całkę ogólną równania \( \quad RC\cdot \dot u + u = 0\), \(\quad\) oraz rozwiązanie spełniające warunek \(u(1) = 2.\)
Rozwiązanie
Dla \(u\neq 0\) jest to równanie o zmiennych rozdzielonych, więc:
Przyjmijmy \(|u_0| = e^{\frac {C_1} {RC}} > 0\) dla pewnego \(u_0 \in \rr \setminus \Set{0}\), zauważając, że jest to zależność odwracalna, tzn. \(C_1 = RC \cdot \ln |u_0|.\)
Pozbywając się modułu dostajemy:
Na koniec zauważmy, że \(u(t) = 0\) jest również rozwiązaniem równania, przy czym dokładnie takie rozwiązanie otrzymamy przyjmując \(u_0 = 0\).
Ostatecznie całka ogólna ma postać:
przy czym \(u(0) = u_0\).
Warunek początkowy będzie spełniony jeśli
Szukane rozwiązanie szczególne to
Ćwiczenie 11.7
Rozwiążmy zagadnienie Cauchy’ego: \(\quad y' \cdot e^x - \sqrt y = 0,\quad y(0) = 1. \)
Rozwiązanie
Dla \(y\neq 0\) rozpoznajemy równanie o zmiennych rozdzielonych:
Ponieważ lewa strona ostatniej zależności jest \(\geq 0\), to równoważnie otrzymamy:
To oznacza, że ostatecznie mamy rozwiązania:
Warunek początkowy będzie spełniony jeśli
co przy uwzględnieniu warunku \(C > 0\) daje \(C = 3.\)
Szukane rozwiązanie szczególne to
11.6. Równania liniowe pierwszego rzędu#
Narration
Niech \(p, f: (a,b) \to \rr\) będą funkcjami ciągłymi.
Definicja 11.6
Równanie różniczkowe, które można doprowadzić do postaci
nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu.
Narration
Równanie liniowe pierwszego rzędu (11.4) rozwiążemy metodą uzmienniania stałej, która składa się z dwóch kroków:
Rozwiązujemy jednorodne równanie liniowe pierwszego rzędu
\[\Diff[t]{u} + p(t)\cdot u = 0,\]które jest równaniem o zmiennych rozdzielonych.
Wykonując kolejne przekształcenia dla \(u\neq 0\), otrzymujemy:
\[\begin{split} \begin{aligned} \frac 1 u \, du & = - p(t) \, dt \\ \Int[u]{\frac 1 u } & = - \Int[t]{ p(t) } \\ \ln |u| & = - \Int[t]{ p(t) } + \ln C_1 \\ |u| & = e^{- \Int[t]{ p(t) } + \ln C_1} = e^{\ln C_1}\cdot e^{- \Int[t]{ p(t) }} = C_1\cdot e^{- \Int[t]{ p(t) }} \end{aligned} \end{split}\]gdzie \(C_1>0\) jest stałą, zaś \(\Int[t]{ p(t) }\) oznacza pewną funkcję pierwotną funkcji \(p\).
Możemy pozbyć się wartości bezwzględnej po lewej stronie równania, zmieniając założenie na stałą \(C_1 \neq 0\).
Zauważmy ponadto, że \(u(t)\equiv 0\) jest rozwiązaniem równania jednorodnego, które pokrywa się z przyjęciem \(C_1 = 0\).
Ostatecznie
\[ u(t) = C\cdot e^{- \Int[t]{ p(t) }}, \qquad \text{gdzie } C \in \rr. \]Wracamy do wyjściowego równania \( \dot {u} + p(t)\cdot u = f(t)\).
Okazuje się, że jego rozwiązanie jest postaci
(11.5)#\[u(t) = C(t)\cdot e^{- \Int[t]{ p(t) }},\]gdzie \(C:(a,b)\to \rr\) jest funkcją, która spełnia równanie różniczkowe wynikające ze wstawienia (11.5) do równania (11.4).
Zauważmy, że
\[\begin{split} \begin{aligned} \Diff[t]{u}(t) & = \Diff[t]{}\left[ C(t)\cdot e^{- \Int[t]{ p(t) }} \right] \\ & = \Diff[t]{C}(t)\cdot e^{- \Int[t]{ p(t) }} + C(t)\cdot e^{- \Int[t]{ p(t) }} \cdot\Diff[t]{}\left[- \Int[t]{ p(t) }\right] \\ & = \Diff[t]{C}(t)\cdot e^{- \Int[t]{ p(t) }} - p(t)\cdot C(t)\cdot e^{- \Int[t]{ p(t) }} \\ & = \Diff[t]{C}(t)\cdot e^{- \Int[t]{ p(t) }} - p(t)\cdot u(t), \end{aligned} \end{split}\]zatem po wstawieniu (11.5) do równania (11.4) otrzymamy
\[\begin{split} \begin{aligned} \left[ \Diff[t]{C}(t)\cdot e^{- \Int[t]{ p(t) }} - \cancel{p(t)\cdot u(t)} \right] + \cancel{p(t)\cdot u(t)} & = f(t) \\ \Diff[t]{C}(t)\cdot e^{- \Int[t]{ p(t) }} & = f(t) \qlq \Diff[t]{C}(t) = f(t)\cdot e^{\Int[t]{ p(t) }} \end{aligned} \end{split}\]i ostatecznie
\[ C(t) = \Int[t]{ f(t)\cdot e^{\Int[t]{ p(t) }} }. \]
Ćwiczenie 11.8
Znajdźmy rozwiązanie równania \(\quad \dot u - 2u = e^{-t}.\)
Rozwiązanie
Rozwiązujemy równanie jednorodne:
\[\begin{split} \Diff[t]{u} - 2u = 0 & \qlq \frac {du} u = 2 \, dt \\ & \qlq \Int[u] {\frac 1 u} = \Int[t] {2} \\ & \qlq \ln |u| = 2t + \ln C \\ & \qlq u(t) = C\cdot e^{2t}, \quad C \in \rr . \end{split}\]Uzmienniamy stałą:
\[ u(t) = C(t)\cdot e^{2t} \Quad{\imply} \dot u(t) = \dot C(t)\cdot e^{2t} + C(t) \cdot 2\, e^{2t}. \]Funkcja \(C(t)\) musi spełniać równanie:
\[\begin{split} \dot u - 2u & = e^{-t} \\ \dot C(t)\cdot e^{2t} + \cancel{C(t) \cdot 2\, e^{2t}} - \cancel{2\, C(t)\cdot e^{2t}} & = e^{-t} \\ \dot C(t) & = e^{-3t} \qlq C(t) = \Int[t]{e^{-3t}} = -\tfrac 1 3 e^{-3t} + C_1, \quad C_1 \in \rr . \end{split}\]Ostatecznie, rozwiązanie równania \(\dot u - 2u = e^{-t}\) to:
\[\begin{split} u(t) & = C(t)\cdot e^{2t} = \Paren{-\tfrac 1 3 e^{-3t} + C_1} \cdot e^{2t} \\ & = -\tfrac 1 3 e^{-t} + C_1 \cdot e^{2t}, \quad C_1 \in \rr. \end{split}\]
Ćwiczenie 11.9
Znajdźmy rozwiązanie zagadnienie Cauchy’ego:
które odpowiada wzbudzeniu obwodu z Rozdział 11.1 siłą elektromotoryczną zależną od czasu \(e(t) = \sin t\) ze stanu, w którym napięcie między okładkami kondensatora w chwili \(t_0 = 0\) jest równe \(u_0.\)
Rozwiązanie
Rozwiązanie równania jednorodnego znamy: \( \quad u(t) = u_0 \cdot e^{-\alpha t}, \quad u_0 \in \rr, \quad \) gdzie \(\alpha = \frac 1 {RC}.\)
Uzmienniamy stałą: \( \quad u(t) = u_0(t)\cdot e^{-\alpha t} \Quad{\imply} \dot u(t) = \dot u_0(t)\cdot e^{-\alpha t} + u_0(t) \cdot (-\alpha)\, e^{-\alpha t}. \)
Funkcja \(u_0(t)\) musi spełniać równanie:
\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} \frac 1 \alpha\cdot \dot u + u & = \sin t \\ \frac 1 \alpha\cdot \Paren{\dot u_0(t)\cdot e^{-\alpha t} - \cancel{ u_0(t) \cdot \alpha\, e^{-\alpha t}} } + \cancel{ u_0(t)\cdot e^{-\alpha t} } & = \sin t \\ \dot u_0(t) & = \alpha\, e^{\alpha t} \sin t \\ u_0(t) = \alpha \Int[t]{ e^{\alpha t} \sin t} & = -{\left(t \cos\left(t\right) - \sin\left(t\right)\right)} e^{{\alpha}} + C_1, \quad C_1 \in \rr . \end{aligned}\end{split}\]Ostatecznie, rozwiązanie równania \( RC\cdot \dot u + u = \sin t\) to:
\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} u(t) & = u_0(t)\cdot e^{-\alpha t} = \Paren{-{\left(t \cos\left(t\right) - \sin\left(t\right)\right)} e^{\left(\frac{1}{C R}\right)} + C_1} \cdot e^{-\frac t {CR}} \\ & = \frac{\sin t - RC \cos t}{R^2 C^2 + 1} + C_1 \cdot e^{-\frac t {RC}}, \quad C_1 \in \rr. \end{aligned}\end{split}\]Warunek początkowy będzie spełniony jeśli
\[\begin{split} u(0) & = \frac{\sin 0 - RC \cos 0}{R^2 C^2 + 1} + C_1 \cdot e^{-\frac 0 {RC}} = -\frac{RC}{R^2 C^2 + 1} + C_1 = u_0 \\ C_1 & = u_0 + \frac{RC}{R^2 C^2 + 1}. \end{split}\]Zatem dla danego \(u_0 \in \rr\) rozwiązaniem będzie
\[ u(t) = \frac{\sin t - RC \cos t}{R^2 C^2 + 1} + \Paren{u_0 + \frac{RC}{R^2 C^2 + 1}} \cdot e^{-\frac t {RC}}. \]Zauważmy, że pierwszy składnik jest harmoniką o pulsacji \(\omega = 1\), zaś drugi funkcją wykładniczą szybko zbiegającą do 0 przy \(t\longrightarrow +\infty\).