Pochodna funkcji

6. Pochodna funkcji#

6.1. Zadania na zajęcia#

Ćwiczenie 6.11

Korzystając z definicji oblicz \(f'(x)\) dla \(f(x)=\displaystyle\frac{1}{1+ \cos x}\).

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 6.1.

Ćwiczenie 6.12

Zbadaj istnienie \(f'(0)\) funkcji \( \quad f(x)=\begin{cases} x^k\sin\frac{1}{x} & \text{dla } x\neq 0 \\ 0 & \text{dla } x=0 \end{cases} \quad \) w dwóch przypadkach, gdy \(k=1\) i \(k=2.\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 6.10, Ćw. 6.1.

Ćwiczenie 6.13

Oblicz pochodną

\[\begin{aligned} f(x) = \ln \dfrac {\sin x} {\cos x} = \ln \sin x - \ln \cos x = \ln \tan x \end{aligned}\]

na trzy różne sposoby.

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 6.2, Ćw. 6.3.

Ćwiczenie 6.14

Oblicz, zakładając że istnieje, pochodną funkcji:

  1. \(f(x)=\sqrt{2x}\cdot \arctan x + \sin(x^3+2x)\)

  2. \(\displaystyle f(x)= \sqrt[5]{x^3}\cdot \tan\Paren{5x+1}\)

  3. \(\displaystyle f(x)= \sqrt{\sin \Paren{3x^2-x}} - \ln \frac 1 {5x^{x}}\)

  4. \(f(x)=x^e \, \arcsin x - x^{\cos(2x)}\)

  5. \(f(x)= \Paren{7x^2-2}^{13} + 2\log_x(\arctan x).\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 6.2, Ćw. 6.3, Ćw. 6.4.

Ćwiczenie 6.15

Pamiętając o regule de l’Hospitala, oblicz granicę funkcji:

  1. \(\LimIn{0} \frac{\sin{x} + 2x}{\cos{x} - 3x -1}\)

  2. \(\LimIn{+\infty} \frac{\sin{x} + 2x}{\cos{x} - 3x -1}\)

  3. \(\LimIn{+\infty} \frac{1+ \ln \Paren{2x+1}} {3 - \ln x}\)

  4. \(\LimIn{\frac{\pi}{2}^-}\frac{\tan x}{\ln\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}\)

  5. \(\LimIn{-\infty}x^2\cdot e^{2x}\)

  6. \(\LimIn{1} \frac{x} {x-1} - \frac 1 {\ln x} .\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 6.5.

6.2. Zadania domowe#

Ćwiczenie 6.16

Korzystając z definicji oblicz \(f'(x)\) dla funkcji \(f(x)=\displaystyle\sqrt{3x+2}\).

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 6.1.

Ćwiczenie 6.17

Zbadaj istnienie \(f'(1)\) funkcji \( \quad f(x) = x\cdot |x-1| .\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 6.10, Ćw. 6.1.

Ćwiczenie 6.18

Oblicz, zakładając że istnieje, pochodną funkcji:

  1. \(f(x) = \ln \dfrac {x+ \sin x} {x - \cos x}\)

  2. \(\displaystyle f(x)=\sqrt[5]{x^3\cos x} + \arctan e^{2x^3}\)

  3. \(f(x) = \Paren{3x^2+5}^7 + \sin\Paren{\cos x}\)

  4. \(f(x) = x\sqrt{4\sin x} + \log_2 (x^3 - 2x^2)\)

  5. \(f(x) = \dfrac 2 {\sqrt[3]{3x}} + \log_{x^2+4x} (x^3 - 2)\)

  6. \(f(x) = 2^{\sin x} - 3\cos \left(\log_x x \right)\)

  7. \(f(x) = \arcsin (\log_x(\cos x^3))\)

  8. \(f(x) = x^{(x^2)} + \Paren{x^x}^2\)

  9. \(f(x) = x^{(x^x)} + \Paren{x^x}^x\)

  10. \(f(x)=\sqrt[x]{1+x}.\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 6.2, Ćw. 6.3, Ćw. 6.4.

Ćwiczenie 6.19

Pamiętając o regule de l’Hospitala, oblicz granicę funkcji:

  1. \(\LimIn{+\infty}\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\)

  2. \(\LimIn{0}\frac {x \cot x -1} {x^2} \)

  3. \(\LimIn{0}\frac{2e^x-2e^{-x}-4x}{\sin x-x}\)

  4. \(\LimIn{+\infty} \frac{\ln \Paren{x+2}} {\ln \Paren{x^2 + 1}}\)

  5. \(\LimIn{+\infty} \frac{\arcsin \frac 1 x} {\arctan x - \frac x 2}\)

  6. \(\LimIn{0}\frac{\cos x-1+\frac{1}{2}x^2}{x^4}\)

  7. \(\LimIn{-\infty}x\cdot\left(\pi+2\arctan x\right)\)

  8. \(\LimIn{0^-} x^2\cdot e^{-\frac 1 x}\)

  9. \(\LimIn{0^+} x \ln x\)

  10. \(\LimIn{0^+} \ln(1-x) \ln x.\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 6.5.