Granica ciągów liczbowych

3. Granica ciągów liczbowych#

3.1. Zadania na zajęcia#

Ćwiczenie 3.6

Oblicz granicę ciągu liczbowego:

  1. \(\LimInfty 5n^2 - n\cdot\arctan n\)

  2. \(\LimInfty \dfrac{\Paren{n+\frac 1 n}^8} {\Brack{{{n+2}\choose {n}}}^5} \cdot \Paren{1+2+3+\ldots +n} \)

  3. \(\LimInfty \dfrac{2^n+3^n}{4^n+3^n}\)

  4. \(\LimInfty \dfrac{4^n+2^n}{2^{2n+1}+4^{n+1} + 3^n}.\)

  5. \(\LimInfty \sqrt{n^2 + 5n} - \sqrt{n^2 - n}\)

  6. \(\LimInfty \dfrac{\sqrt{n^2+5}-n}{\sqrt{n^2+2}-n}\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 3.3, Ćw. 3.4.

Ćwiczenie 3.7

Zwracając uwagę na założenia twierdzeń, z których korzystasz oblicz granicę ciągu liczbowego:

  1. \(\LimInfty \dfrac{\cos\Paren{n!}}{n+\arcsin \frac 1 n }\)

  2. \(\LimInfty \sqrt[n]{{4^n} + n^{13}\cdot 3^n}\)

  3. \(\LimInfty \frac {n + 2022}{3n-(-1)^n}\)

  4. \(\LimInfty \sqrt[\frac 1 n]{\frac{n+2}{n+1}} + \left( \dfrac{n+1}{n}\right)^{2022}\)

  5. \(\LimInfty \Paren{\dfrac{1-n^2}{5 -2n}}^{n+1}\cdot \Paren{\frac 2 {n+1}}^{n+1}\)

  6. \(\LimInfty \left( \dfrac{2n^2+2n+1}{2n^2+2}\right)^{n+1}.\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 3.1, Ćw. 3.2, Ćw. 3.5.

3.2. Zadania domowe#

Ćwiczenie 3.8

Oblicz granicę ciągu liczbowego:

  1. \(\LimInfty \dfrac {3n^3 - \sqrt{n^3 + 4n^6}} {\Paren{\sqrt{n} - 5n + 383764}^{3}}\)

  2. \(\LimInfty \sqrt{4n^2 + n} - 2n\)

  3. \(\LimInfty n\Paren{\sqrt{2n^2 + 1}-\sqrt{2n^2-1}}\)

  4. \(\LimInfty \dfrac{3^{n+1}+2^n}{5^n+4\cdot 3^n}\)

  5. \(\LimInfty \dfrac{4^n+5^n}{3\cdot 4^n+2^n}.\)

  6. \(\LimInfty \displaystyle\frac{3^{n-1}+(-2)^{n}}{3^{n+1}+(-2)^{n+2}}\)

  7. \(\LimInfty \dfrac{2^{3n}+5^{n+1}}{3^{2n+1}+4^{n-1}}\)

  8. \(\LimInfty\displaystyle \frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{2^n}}{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{3^n}}.\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 3.4, Ćw. 3.3.

Ćwiczenie 3.9

Zwracając uwagę na założenia twierdzeń, z których korzystasz oblicz granicę ciągu liczbowego:

  1. \(\LimInfty \dfrac{\cos\Paren{n!}}{n+\arcsin \frac 1 n }\)

  2. \(\LimInfty \dfrac {3n^2 - 1} {5n^2 + \cos n}\)

  3. \(\LimInfty \dfrac {3n^2 - n\cdot(-1)^n} {(\sqrt n - 5)^4}\)

  4. \(\LimInfty \sqrt[n]{\frac{4^n}{n^{12}} +n\cdot 3^n+5n^3}\)

  5. \(\LimInfty \Paren{\frac {7^n}{n^{13}}+n}^{\frac 1 n}\)

  6. \(\LimInfty \left( \dfrac{n+1}{n}\right)^{2019}\)

  7. \(\LimInfty \Paren{\dfrac{2^n+4^n}{2^{2n}-2^n}}^{2^n}\)

  8. \(\LimInfty \Paren{\dfrac{3n}{4n+1}}^{n}\cdot \Paren{\dfrac{4n-3}{3n+2}}^{n}\)

  9. \(\LimInfty n\cdot\left[\ln(n+3)-\ln n\right]\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 3.1, Ćw. 3.2, Ćw. 3.5.

Ćwiczenie 3.10

Pokaż przykłady ciągów świadczące o tym, że symbole \(\displaystyle 1^\infty\), \(\displaystyle \frac 0 0\), \(\displaystyle \infty^0\) i \(\displaystyle \frac \infty \infty\) są nieoznaczone.

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 3.5.