4. Granica funkcji#
4.1. Zadania na zajęcia#
Ćwiczenie 4.10
Zwracając uwagę na założenia twierdzeń, z których korzystasz oblicz granicę funkcji (nie wolno korzystać z reguły de l’Hospitala!):
\(\LimIn{1} \dfrac{x^3 -3x^2 + 3x - 1} {x^3 - x^2 - x + 1} \)
\(\LimIn{0^+} \dfrac{x - \sqrt x}{x+ \sqrt x}\)
\(\LimIn{0} \dfrac{\tan 3x}{\sin 7x}\)
\(\LimIn{-1} \dfrac{\sin(x^2-1)}{x+1}\)
\(\LimIn{1^+}\left(\frac{x+1}{2x}\right)^{\frac{3}{x-1}}\)
\(\LimIn{-\infty} 3x +1 + \sqrt{9x^2 -2}\)
\(\LimIn{+\infty} x\cdot\arctan \frac 1 x.\)
Ćwiczenie 4.11
Zwracając baczną uwagę na założenia twierdzeń, z których korzystasz oblicz granice jednostronne funkcji \(\displaystyle (1-\sin x)^{\frac{1}{x}}\) w punkcie \(x_0=0\). Czy istnieje granica \(\displaystyle \lim_{x\to 0} (1-\sin x)^{\frac{1}{x}}\)?
4.2. Zadania domowe#
Ćwiczenie 4.13
Zwracając uwagę na założenia twierdzeń, z których korzystasz oblicz granicę funkcji (nie wolno korzystać z reguły de l’Hospitala!):
\(\LimIn{0} \dfrac{ \tan 2x}{x}\)
\(\LimIn{0} \dfrac{1-\cos 6x}{x^2}\)
\(\LimIn{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\cos 7x}\)
\(\LimIn{0} \dfrac{\arctan 3x}{7x}\)
\(\LimIn{0} \dfrac{\sin 7x}{4-\sqrt{5x+16}}\)
\(\LimIn{16} \dfrac{\sqrt{x \sqrt x} -8}{\sqrt[4]{x} -2}\)
\(\LimIn{0} \dfrac{\sqrt{x^2 + 4} -2}{\sqrt{x^2 + 9} -3}\)
\(\LimIn{1^+} \Paren{\dfrac {3-x^2} {x+1} }^{\frac 1 {x-1}}\)
\(\LimIn{0} (\cos x)^{\cot^2x}\)
\(\LimIn{+\infty} \sqrt{e^x + 1} - \sqrt{e^x - 1}\)
\(\LimIn{-\infty} \frac{\sqrt{2x^2+x+1}}{x}\)
\(\LimIn{-\infty} \sqrt{(x+3)(x-4)} + x\)
\(\LimIn{-\infty} \frac{\sqrt{2-x}-\sqrt{1-x}}{x+\sqrt{x^2+2x+3}}\)
Ćwiczenie 4.14
Wykaż, że nie istnieje granica:
\(\LimIn{0^+}\cos\left(\frac{2}{x}\right)\)
\(\LimIn{1}2^{\frac{1}{x-1}}\)
\(\LimIn{0}\sin\left(\arctan \frac{1}{x}\right).\)
Ćwiczenie 4.15
Wykaż, że dla \(x\in\rr\) zachodzą równości:
\(\Ch^2 x - \Sh^2 x = 1\)
\(\Ch^2 x + \Sh^2 x = \Ch 2x\)
\(\Sh 2x = 2\Sh x \Ch x \)
\(\displaystyle {\Ch^2 x} = \frac 1 {1-\Th^2 x}.\)