Funkcje rzeczywiste

2. Funkcje rzeczywiste#

2.1. Definicja funkcji#

Narration

Niech \(X, Y \subset \rr\) będą zbiorami niepustymi.

Definicja 2.1

Funkcją odwzorowującą zbiór \(X\) w \(Y\) nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru \(X\) dokładnie jednego elementu ze zbioru \(Y\).

Narration

Jeśli funkcję oznaczymy symbolem \(f\), to zapis

\[f:X\to Y.\]

czytamy jako \(f\) odwzorowuje zbiór \(X\) w zbiór \(Y\).

Przy tych oznaczeniach definicję funkcji możemy zapisać w następujący sposób:

\[\forall x\in X\; \exists! y\in Y \; f(x) = y.\]

Niech \(f: X \to Y\) będzie funkcją.

Definicja 2.2

Dziedzina funkcji \(f\) to zbiór \(D_f = X\).

Przeciwdziedzina funkcji \(f\) to zbiór \(Y\).

Argumenty funkcji \(f\) to elementy dziedziny \(D_f\).

Wartość funkcji \(f\) dla argumentu \(x\in X\) to element \(y = f(x)\).

Mówimy wtedy, że \(x\) przechodzi na \(y\), lub \(x\) przechodzi na \(f(x)\), co zapisujemy jako

\[x \mapsto y \qquad \text{lub} \qquad x \mapsto f(x).\]

Zbiór wartości funkcji \(f\) to zbiór

\[R_f = f(X) = \{f(x) : x \in X \}\subseteq Y\]

tych elementów przeciwdziedziny \(y\in Y\), dla których istnieje (niekoniecznie jeden) argument \(x\in X\) taki, że \(y = f(x)\).

Wykres funkcji \(f: X \to Y\) to zbiór

\[\Gamma_f = \Set{ (x,f(x)) : x\in X } \subseteq X\times Y \subseteq \rr^2.\]

Narration

Wykres funkcji \(\Gamma_f\) można interpretować jako podzbiór płaszczyzny \(\rr^2\), dokładnie tak jak to jest uczone w szkole średniej.

Jeśli podamy wzór funkcji \(f\) bez podania jej dziedziny, to zakładamy, że \(D_f\subseteq \rr\) jest maksymalnym zbiorem, na którym jest ona określona i \(f: D_f \to R_f\).

Podobnie jeśli podamy wzór \(f\) i jedynie jej dziedzinę \(D_f\), to zakładamy, że \(f: D_f \to R_f\).

2.2. Przykłady funkcji rzeczywistych#

2.2.1. Funkcje stałe#

Narration

Funkcja stała na zbiorze \(X\subseteq \rr\) to funkcja \( f: X \to \rr, \quad f(x) = c \, , \quad \) gdzie \(c\in \rr\).

\(R_f = \Set{c}\).

2.2.2. Znak liczby#

Narration

Znak liczby to funkcja

\[\begin{split} \sgn:\rr \to \rr, \qquad \sgn(x) = \begin{cases} -1, & \text{dla } x < 0 \\ 0, & \text{dla } x = 0 \\ 1, & \text{dla } x > 0 \end{cases}. \end{split}\]

\(R_{\sgn} = \Set{-1, 0, 1}.\)

SageMath (Ukryj)
../_images/470961a9b6927089a54b181c6b715e7402617ed355d44029b1c24902449cd59f.png

2.2.3. Wartość bezwzględna#

Narration

Wartość bezwzględna lub moduł to funkcja

\[\begin{split} \rr \to \rr, \qquad x \mapsto |x| = x \cdot \sgn(x) = \begin{cases} -x, & \text{dla } x < 0 \\ x, & \text{dla } x \geq 0 \end{cases}, \end{split}\]

Zbiorem wartości jest \(\rr_+ \cup \Set{0}\).

SageMath (Ukryj)
../_images/427d4cda5440826ca24408146037a4221445940fd2ff191b0cba1c4364e66181.png

2.2.4. Podłoga i sufit#

Narration

Część całkowita, cecha lub podłoga liczby to funkcja

\[ \rr \to \rr, \qquad x \mapsto [x] = \lfloor x \rfloor = \max \Set{n \in \zz : n \leq x}, \]

czyli największa liczba całkowita nie większą niż \(x\).

Zbiorem wartości jest \(\zz\).

SageMath (Ukryj)
../_images/f2d901c26c5d35008cab8d34d3f31b37c94f3749c1df7404392dcd2326d8146f.png

Narration

Cecha górna lub sufit liczby to funkcja

\[ \rr \to \rr, \qquad x \mapsto \lceil x \rceil = \min \Set{n \in \zz : x \leq n}, \]

czyli najmniejsza liczba całkowita nie mniejszą niż \(x\).

Zbiorem wartości jest \(\zz\).

SageMath (Ukryj)
../_images/1b87680564a035d400c2744c52bc5b1d131c672dc3d0080374fcf3f12c82d0e3.png

Przykład 2.1

\[\begin{split} \begin{aligned} [7] = \lceil 7 \rceil & = 7, & [-7] = \lceil -7 \rceil & = -7, \\ [1.2] & = 1 , & [-1.2] & = -2 , & \left[-\pi \right] = -4, \\ \lceil 1.2 \rceil & = 2 , & \lceil -1.2 \rceil & = -1 , & \lceil -\pi \rceil = -3. \end{aligned} \end{split}\]

2.2.5. Wielomiany#

Narration

Wielomian stopnia \(n\in\nn_0\) .

Dla \(a_0, a_1,\ldots, a_n \in \rr\), \(a_n \neq 0\), funkcja

\[ w:\rr\to \rr, \qquad w(x) = a_0 + a_1 x+ \ldots + a_n x^n. \]

Stopień wielomianu oznaczamy przez \(\deg w\).

SageMath (Ukryj)
../_images/c7492bd2047b0ae6f0f9f10fbbf91a7f934491f5a6f9f3fb93f8098da6f83b30.png

2.2.6. Funkcje wymierne#

Narration

Funkcja wymierna .

Dla \(p,q\) wielomianów, \(\deg q \geq 1\), \(D_f = \Set{x\in\rr : q(x)\neq 0}\), funkcja

\[ f:D_f\to \rr, \qquad f(x) = \frac {p(x)} {q(x)}. \]

SageMath (Ukryj)
../_images/5f657e4feb2c8cecc351e8805ca4b65860a93263db89301bd93b62a8f075813f.png

2.2.7. Funkcje potęgowe#

Narration

Funkcja potęgowa .

Dla \(\alpha \in \rr\), funkcja

\[ f:D_f \to \rr, \qquad f(x) = x^\alpha. \]

Przyjmujemy, że dziedzina \(D_f\), zależna od \(\alpha\), jest maksymalnym zbiorem, na którym funkcja jest określona.

SageMath (Ukryj)
../_images/154338142514a17c3f6d00cc2020e33eaddac80470d344e0ca5228a132628d39.png

2.2.8. Funkcje wykładnicze#

Narration

Funkcja wykładnicza .

Dla \(a \in \rr_+\setminus\Set{1}\), funkcja

\[ \exp_a:\rr \to \rr, \qquad \exp_a(x) = a^x. \]

\(R_{\exp_a} = \rr_+\).

SageMath (Ukryj)
../_images/6b9845455c2737a0484b87dbdcfdc4d8530af0a22ef206bb87883b9928132128.png

Stwierdzenie 2.1

Dla \(a, b \in \rr_+\) oraz \(\alpha, \beta \in \rr\), zachodzą następujące wzory:

  1. \(a^\alpha \cdot a^\beta = a^{\alpha + \beta}\)

  2. \(a^\alpha \cdot b^\alpha = \Paren{a\cdot b}^{\alpha}\)

  3. \(\Paren{a^\alpha}^\beta = a^{\alpha\cdot \beta}\)

  4. \(a^0 = 1\)

  5. \(a^{-\beta} = \dfrac 1 {a^\beta}.\)

2.2.9. Funkcje logarytmiczne#

Narration

Funkcja logarytmiczna .

Dla \(a \in \rr_+\setminus\Set{1}\), funkcja

\[ f:\rr_+ \to \rr, \qquad f(x) = \log_a x. \]

\(R_f = \rr\).

SageMath (Ukryj)
../_images/c90d2df370a24d88c62340e3f6746b127ec64e21d4968f6855898c0e9d8fbc0c.png

Stwierdzenie 2.2

Dla \(a,b\in \rr_+\setminus\Set{1},\ x,z \in \rr_+,\ y \in \rr\) zachodzą następujące wzory:

  1. \(\log_b 1 = 0\)

  2. \(\log_b b = 1 \)

  3. \(b^{\log_b x} = x\)

  4. \(\log_b b^y = y\)

  5. \(\log_b x \cdot z = \log_b x + \log_b z\)

  6. \(\log_b \dfrac x z = \log_b x - \log_b z\)

  7. \(\log_b x^a = a\cdot \log_b x\)

  8. \(\log_b x = \dfrac {\log_a x} {\log_a b}\)

  9. \(\log_b\) jest funkcją malejącą dla \(b < 1\) i rosnąca dla \(b > 1\).

2.2.10. Funkcje trygonometryczne#

Narration

Funkcje trygonometryczne .

Funkcje sinus, cosinus, tangens i cotangens,

\[ x\mapsto \sin x, \quad x\mapsto \cos x, \quad x\mapsto \tg x, \quad x\mapsto \ctg x, \]

określone na swoich maksymalnych dziedzinach.

\(R_{\sin} = R_{\cos} = [-1, 1]\),
\(R_{\tg} = R_{\ctg} = \rr\).

SageMath (Ukryj)
../_images/d4745066ce199a22e74439ef8f63b48b6ef7e574f2e0412feb8d6a644775f25c.png

Stwierdzenie 2.3

Najważniejsze wzory trygonometryczne:

  1. \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)

  2. \(\sin (x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y\)

  3. \(\cos (x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y\)

  4. \(\sin x \cdot \sin y = \frac 1 2 \left( \cos (x - y) - \cos (x + y)\right)\)

  5. \(\sin x \cdot \cos x = \frac 1 2 \left( \sin (x - y) + \sin (x + y) \right)\)

  6. \(\cos x \cdot \cos y = \frac 1 2 \left( \cos (x - y) + \cos (x + y) \right).\)

2.3. Obcięcie funkcji#

Definicja 2.3

Obcięcie funkcji \(f:X\to\rr\) do zbioru \(A\subseteq X\) definiujemy jako funkcję \(f|_A : A\to \rr\), zadaną wzorem

\[f|_A(x) = f(x) \qquad \text{dla każdego } x \in A.\]

2.4. Superpozycja funkcji#

Definicja 2.4

Superpozycję lub złożenie funkcji \(f:X\to Y\) i \(g:Y\to Z\) definiujemy jako funkcję

\[ g\circ f : X\to Z, \qquad g\circ f (x) = g(f(x)). \]

Uwaga 2.1

W przypadku funkcji \(f: X\to Y\) i \(g: W \to Z\), superpozycję \(g\circ f\) definiujemy jedynie pod warunkiem, że \(Y=W\).

Przykład 2.2

Dla funkcji \(f,g : \rr \to \rr\) i \(h: \rr_+ \to \rr\) danych wzorami

\[ f(x) = x^3, \quad g(x) = \sin x, \quad h(x) = \log x \]

mamy:

  • \( f\circ g : \rr \to \rr, \quad f\circ g (x) = f(\sin x ) = \sin^3 x\)

  • \( g\circ f : \rr \to \rr, \quad g\circ f (x) = g\left(x^3 \right) = \sin\left(x^3\right) \)

  • \( f \circ g \circ h : \rr_+ \to \rr, \quad f \circ g(\log x) = \sin^3 \left(\log x\right) . \)

2.5. Ograniczoność funkcji#

Definicja 2.5

Ograniczoną z góry nazywamy funkcję \(f: X \to \rr\), jeśli

\[ \exists M\in\rr\ \forall x\in X \quad f(x) < M. \]

Ograniczoną z dołu nazywamy funkcję \(f: X \to \rr\), jeśli

\[ \exists m\in\rr\ \forall x\in X \quad m < f(x). \]

Ograniczoną nazywamy funkcję \(f: X \to \rr\), jeśli jest ograniczona z dołu i z góry, lub równoważnie

\[ \exists M\in\rr_+\ \forall x\in X \quad |f(x)| < M. \]

Narration

Zaprzeczenie tego warunku daje definicję funkcji nieograniczonej.

Definicja 2.6

Nieograniczoną nazywamy funkcję \(f: X \to \rr\), jeśli

\[ \forall M\in\rr_+\ \exists x\in X \quad |f(x)| \geq M. \]

Przykład 2.3

Dla przykładu, funkcja \(f:(0,+\infty)\to \rr,\ f(x) = \frac 1 x ,\) jest:

  1. ograniczona z dołu przez \(m = 0\)

  2. nieograniczona z góry, gdyż dla \(M\in \rr\) wystarczy wziąć \( x = \frac 1 {|M| + 1}\), dla którego

\[f\left( \frac 1 {|M| + 1} \right) = {|M| + 1} \geq M,\]

więc prawdziwe jest zaprzeczenie wyrażenia z definicji.

Przykład 2.4

  1. Wielomiany stałe, funkcje sinus, cosinus, znak liczby są ograniczone.

  2. Wielomiany niestałe, funkcje wymierne, wykładnicza, logarytmiczna, tangens, cotangens i całość z liczby są nieograniczone.

Stwierdzenie 2.4

Niech \(X \subseteq \rr\), \(c \in \rr\), oraz \(f,g : X \to \rr\) będą funkcjami ograniczonymi.

Wówczas

\[c\cdot f,\quad f+g,\quad f\cdot g\]

są również funkcjami ograniczonymi.

2.6. Monotoniczność funkcji#

Definicja 2.7

Rosnącą na zbiorze \(A \subseteq X\) nazywamy funkcję \(f: X \to \rr\), jeśli

\[ \forall x_1,x_2\in A \quad x_1 < x_2 \imply f(x_1) < f(x_2). \]

Niemalejącą na zbiorze \(A \subseteq X\) nazywamy funkcję \(f: X \to \rr\), jeśli

\[ \forall x_1,x_2\in A \quad x_1 < x_2 \imply f(x_1) \leq f(x_2). \]

Malejącą na zbiorze \(A \subseteq X\) nazywamy funkcję \(f: X \to \rr\), jeśli

\[ \forall x_1,x_2\in A \quad x_1 < x_2 \imply f(x_1) > f(x_2). \]

Nierosnącą na zbiorze \(A \subseteq X\) nazywamy funkcję \(f: X \to \rr\), jeśli

\[ \forall x_1,x_2\in A \quad x_1 < x_2 \imply f(x_1) \geq f(x_2). \]

Narration

Każda funkcja rosnąca na zbiorze jest na nim niemalejąca, zaś malejąca – nierosnąca.

Definicja 2.8

Monotoniczną na zbiorze \(A \subseteq X\) nazywamy funkcję \(f: X \to \rr\), jeśli jest na nim nierosnąca lub niemalejąca.

Przykład 2.5

Sprawdźmy z definicji, czy funkcja \(f: \Paren{\frac 1 2, +\infty} \to \rr,\ \displaystyle f(x) = \frac{x+1}{2x-1}\), jest malejąca.

W tym celu zauważmy, że dla \(x > \frac 1 2\) mianownik \( 2x - 1 > 0. \) Stąd

\[\begin{split} \begin{aligned} f(x_1) & > f(x_2) \\ \frac{x_1+1}{2x_1-1} & > \frac{x_2+1}{2x_2-1} \\ (x_1 + 1)(2x_2 -1) & > (x_2 + 1)(2x_1 -1) \\ 2x_1x_2 - x_1 + 2x_2 -1 & > 2x_1x_2 - x_2 + 2x_1 -1 \\ x_2 & > x_1. \end{aligned} \end{split}\]

W szczególności to oznacza, że

\[ x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2), \]

czyli funkcja jest malejąca.

Przykład 2.6

  1. Wielomiany stopnia \(1\) oraz funkcje wykładnicze i logarytmiczne są monotoniczne (dwie ostatnie są rosnące, jeśli \(a>1\) malejące w p.p.).

  2. \(x\mapsto\sin x\) jest rosnąca na zbiorach \(\left[0,\frac \pi 2\right], \left[\frac {3\pi} 2, 2\pi\right]\), ale nie jest rosnąca na \(\left[0,\frac \pi 2\right] \cup \left[\frac {3\pi} 2, 2\pi\right]\).

Stwierdzenie 2.5

Niech \(X \subseteq \rr\), \(c>0\), oraz \(f,g : X \to \rr\) będą funkcjami rosnącymi (odp. niemalejącymi, malejącymi, nierosnącymi).

Wówczas:

  1. \(c\cdot f,\ f+g\) są również funkcjami rosnącymi (odp. niemalejącymi, malejącymi, nierosnącymi).

  2. \(-f\) jest funkcją malejącą (odp. nierosnącą, rosnącą, niemalejącą).

Przykład 2.7

Dla \(a>1\), funkcja \( f: \rr\to\rr, \Quad{ f(x) = a^x - a^{-x}, } \) jest rosnąca.

Istotnie:

  • \(g_1(x) = a^x \quad\) jest rosnąca, jako funkcja wykładnicza o podstawie \(a>1\)

  • \(g_2(x) = a^{-x} = \left( \frac 1 a\right)^x \quad\) jest malejąca, jako funkcja wykładnicza o podstawie \(\frac 1 a < 1\)

  • \(g_3(x) = -g_2(x) = - a^{-x} \quad\) jest rosnąca

  • \(f(x) = g_1(x) + g_3(x) \quad\) też jest rosnąca.

2.7. Funkcje injektywne#

Definicja 2.9

Różnowartościową lub injektywną nazywamy funkcję \(f: X\to Y\), jeśli

\[ \forall x_1, x_2 \in X \quad x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2). \]

Injekcją nazywamy funkcję, która jest injektywna.

Narration

Na mocy prawa kontrapozycji warunek ten jest równoważny warunkowi

\[ \forall x_1, x_2 \in X \quad f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2. \]

Innymi słowy, funkcja \(f\) jest injektywna pod warunkiem, że każda wartość zbioru \(Y\) jest przyjmowana dla co najwyżej jednego argumentu ze zbioru \(X\).

Uwaga 2.2

Wykres różnowartościowej funkcji \(f: X \to Y\) przecina dowolną prostą poziomą \(\Set{(x,y): y = constans}\) w co najwyżej jednym punkcie.

Przykład 2.8

GEOGEBRA Niech \(f(x) = \frac 1 3 x^3 - 4x.\)

Posiłkując się powyższą uwagą wnioskujemy:

  • \(f: \rr \to \rr\) nie jest injektywna

  • \(f: [-3,4) \to \rr\) nie jest injektywna

  • \(f: (-1,2] \to \left[-\frac {16} 3, \frac {16} 3\right]\) jest injektywna.

Przykład 2.9

Sprawdźmy z definicji, czy funkcja \(\displaystyle f(x) = \frac{x+1}{2x-1}\) jest różnowartościowa W tyma celu wykonujemy przekształcenia:

\[\begin{split} f(x_1) & = f(x_2) \\ \frac{x_1+1}{2x_1-1} & = \frac{x_2+1}{2x_2-1} \\ (x_1 + 1)(2x_2 -1) & = (x_2 + 1)(2x_1 -1) \\ 2x_1x_2 - x_1 + 2x_2 -1 & = 2x_1x_2 - x_2 + 2x_1 -1 \\ x_2 & = x_1. \end{split}\]

W szczególności to oznacza, że

\[ f(x_1) = f(x_2) \imply x_1 = x_2, \]

czyli funkcja jest różnowartościowa.

Stwierdzenie 2.6

Dla \(X\subseteq \rr\), jeśli funkcja \(f:X\to \rr\) jest rosnąca lub malejąca, to jest różnowartościowa.

Przykład 2.10

Dla \(a>1\), funkcja \(f: \rr\to\rr, f(x) = a^x - a^{-x},\) jest różnowartościowa, ponieważ pokazaliśmy już, że jest rosnąca i możemy skorzystać z powyższego stwierdzenia.

2.8. Funkcje surjektywne#

Definicja 2.10

Funkcją „na” lub surjektywną nazywamy funkcję \(f: X\to Y\), jeśli

\[\forall y\in Y \; \exists x\in X \quad y = f(x).\]

Surjekcją nazywamy funkcję, która jest surjektywna.

Uwaga 2.3

Dla każdej liczby \(c\in Y\) wykres surjektywnej funkcji \(f: X \to Y\) przecina prostą poziomą \(\Set{(x,y): y = c}\) w co najmniej jednym punkcie.

Przykład 2.11

GEOGEBRA Niech \(f(x) = \frac 1 3 x^3 - 4x.\)

Posiłkując się powyższą uwagą wnioskujemy:

  • \(f: \rr \to \rr\) jest surjekcją

  • \(f: [-3,4) \to \rr\) nie jest surjekcją

  • \(f: [-3,4) \to \left[-\frac {16} 3, \frac {16} 3\right]\) jest surjekcją.

Narration

W celu zbadania surjektywności funkcji rzeczywistej, należy zbadać jej przebieg zmienności.

2.9. Funkcja odwrotna#

Definicja 2.11

Jeśli funkcja \(f: X \to Y\) jest różnowartościowa i „na”, to zadaje jednoznaczne przyporządkowanie między elementami zbiorów \(X\) i \(Y\), \(x \mapsto f(x)\).

Zatem istnieje też jednoznaczne przyporządkowanie (czyli funkcja) \(f^{-1}: Y \to X\) „w drugą stronę”, między elementami zbiorów \(Y\) i \(X\), \(y \mapsto f^{-1}(y)\), o tej własności, że

\[ (\forall x\in X\quad f^{-1}\circ f(x)=x) \quad \wedge \quad (\forall y\in Y\quad f\circ f^{-1}(y)=y), \]

którą nazywamy funkcją odwrotną do funkcji \(f:X\to Y\).

Narration

Oznaczenie \(f^{-1}\) jest umowne i nie należy go mylić z funkcją \(x\mapsto x^{-1}\).

W szczególności zazwyczaj \(f^{-1}(x) \neq \frac 1 {f(x)}.\)

Uwaga 2.4

Dla \(X, Y \subseteq \rr\) wykres funkcji \(f^{-1}: Y \to X\) jest odbiciem wykresu \(f: X \to Y\) względem prostej \(y=x\).

SageMath (Ukryj)
../_images/203e0af302075ad7ddf2fca3b967bfcab930c902c3af45430fa6b59eb4968ef2.png

Przykład 2.12

Niech \(f : \rr \to \rr,\; f(x) = 2x-2\).

Szkicujemy jej wykres i odbijamy go względem prostej \(y=x\).

Bez trudu odczytamy, że wspołczynnik nachylenia odbitej prostej jest równy \(\frac 1 2\) oraz przechodzi ona przez punkt \((0,1)\).

Stąd

\[f^{-1}(x) = \frac 1 2 x + 1.\]

Możemy sprawdzić, że

\[ f^{-1}\circ f(x) = f^{-1}\left( 2x-2 \right) = \frac 1 2(2x-2) + 1 = x. \]

Przykład 2.13

  1. Dla dowolnej ustalonej liczby \(k\in \nn,\) funkcje

    \[f: \rr \to \rr,\; x \mapsto x^{2k-1} \qquad \text{oraz} \qquad f^{-1}:\rr \to \rr,\; y \mapsto \sqrt[2k-1] y\]

    są wzajemnie odwrotne.

    Podobnie po zawężeniu dziedzin i przeciwdziedzin dla każdego \(\alpha \neq 0\) funkcje

    \[f: \rr_+ \to \rr_+,\; x \mapsto x^{\alpha} \qquad \text{oraz} \qquad f^{-1}:\rr_+ \to \rr_+,\; y \mapsto y^{1 / \alpha}\]

    są wzajemnie odwrotne.

  2. Dla dowolnej ustalonej liczby \(a>0\) wzajemnie odwrotne są

    \[f: \rr \to \rr_+,\; x \mapsto a^x \qquad \text{oraz} \qquad f^{-1}:\rr_+ \to \rr,\; x \mapsto \log_a x\]

SageMath (Ukryj)
../_images/968942ff3f5a08c532c9f277525327429104148416fb5544bf60d6ac974bb087.png

Przykład 2.14

Znajdźmy funkcję odwrotną do

\[ f:\rr\setminus\Set{\tfrac 1 2} \to \rr\setminus\Set{\tfrac 1 2} , \quad f(x) = \dfrac{x+1}{2x-1}. \]

W tym celu przyjmujemy

\[y = f(x) = \frac{x+1}{2x-1}\]

i wykonujemy przekształcenia:

\[\begin{split} y & = \dfrac{x+1}{2x-1} & & & & \Big| \cdot (2x-1)\neq 0 \\ y(2x-1) & = x+1 \qlq & 2xy-y& = x+1 & & \Big| -x+y \\ && 2xy-x & = y+1 \\ & & x(2y-1)& = y+1 & & \Big| : (2y-1)\neq 0 \\ && x& = \frac{y+1}{2y-1}. \end{split}\]

Wnioskujemy, że

\[ f^{-1}:\rr\setminus\Set{\frac 1 2} \to \rr\setminus\Set{\frac 1 2}, \quad f^{-1}(y) = \dfrac{y+1}{2y-1} \]

co jest równoważne zapisowi

\[ f^{-1}(x) = \dfrac{x+1}{2x-1} = f(x) . \]

2.10. Funkcje cyklometryczne#

Narration

Funkcje cyklometryczne (lub kołowe ) są funkcjami odwrotnymi do funkcji trygonometrycznych obciętych do odpowiednich dziedzin.

Definicja 2.12

Dla funkcji \( \quad \color{PWBlue} \sin : \left[-\tfrac\pi 2, \tfrac \pi 2\right] \to [-1,1] \quad \) definiujemy odwrotną arcus sinus

\[{\color{PWRed} \arcsin : [-1,1] \to \left[-\tfrac\pi 2, \tfrac \pi 2\right]},\]

czyli dla \(\quad x\in\left[-\tfrac\pi 2, \tfrac \pi 2\right] \quad\) oraz \(\quad y\in [-1,1] \quad\) zachodzi

\[y ={\color{PWBlue} \sin }\, x \quad \Leftrightarrow \quad {\color{PWRed} \arcsin }\, y = x .\]

SageMath (Ukryj)
../_images/2819d0db8de2b6720abb442184421033b3df8c159580b34df46b72d1a54577e9.png

Przykład 2.15

  1. \( \arcsin (-1) = -\frac \pi 2 \)

  2. \(\arcsin \frac {\sqrt 2} 2 = \frac \pi 4.\)

Definicja 2.13

Dla funkcji \( \color{PWBlue} \cos : \left[0, \pi \right] \to [-1,1] \) definiujemy odwrotną arcus cosinus

\[{\color{PWRed} \arccos : [-1,1] \to \left[0, \pi \right]},\]

czyli dla \(\quad x\in\ \left[0, \pi \right] \quad\) oraz \(\quad y\in [-1,1] \quad\) zachodzi

\[y ={\color{PWBlue} \cos }\, x \quad \Leftrightarrow \quad {\color{PWRed} \arccos }\, y = x .\]

SageMath (Ukryj)
../_images/f61be8e8df6d3d5fddb9601e82566da6d3dd9c5a39f1f8a6f451c8005071aba5.png

Przykład 2.16

  1. \(\arccos (-1) = \pi \)

  2. \(\displaystyle \begin{aligned} \arccos \Paren{-\frac 1 2} = \frac{2}{3} \, \pi. \end{aligned}\)

Stwierdzenie 2.7

Dla \(y \in \Brack{-1,1}\) zachodzą następujące wzory:

  1. \(\arcsin (-y) = -\arcsin y\)

  2. \(\arccos y = \dfrac \pi 2 - \arcsin y\)

  3. \(\arccos (-y) = \pi - \arccos y.\)

Definicja 2.14

Dla funkcji \( \quad \color{PWBlue} \tg : \left(-\tfrac \pi 2, \tfrac \pi 2 \right) \to \rr \quad \) definiujemy odwrotną arcus tangens

\[{\color{PWRed} \arctg : \rr \to \left(-\tfrac \pi 2, \tfrac \pi 2 \right)},\]

czyli dla \(\quad x\in\left(-\tfrac \pi 2, \tfrac \pi 2 \right) \quad\) oraz \(\quad y\in \rr \quad\) zachodzi

\[y ={\color{PWBlue} \tg }\, x \quad \Leftrightarrow \quad {\color{PWRed} \arctg }\, y = x .\]

SageMath (Ukryj)
../_images/d266af6a6a1417bf629961c837ef2d5041b2e590923293744c74f21ee284d848.png

Przykład 2.17

  1. \(\displaystyle \begin{aligned} \quad \arctg (-1) = -\frac{1}{4} \, \pi, \end{aligned}\)

  2. \(\displaystyle \begin{aligned} \quad \arctg {\sqrt 3} = \frac{1}{3} \, \pi. \end{aligned}\)

Definicja 2.15

Dla funkcji \( \quad \color{PWBlue} \ctg : \left(0, \pi \right) \to \rr \quad \) definiujemy odwrotną arcus cotangens

\[{\color{PWRed} \arcctg : \rr \to \left(0, \pi \right)},\]

czyli dla \(\quad x\in\left(0, \pi \right) \quad\) oraz \(\quad y\in \rr \quad\) zachodzi

\[y ={\color{PWBlue} \ctg }\, x \quad \Leftrightarrow \quad {\color{PWRed} \arcctg }\, y = x .\]

SageMath (Ukryj)
../_images/66869e5d4f9eda9cc82a9b63bedb15f4ae4eab1ebb4813e3a80b04cb3b43004d.png

Stwierdzenie 2.8

Dla \(y \in \rr\) zachodzą następujące wzory:

  1. \(\arctg (-y) = -\arctg y \)

  2. \(\arcctg y = \dfrac \pi 2 - \arctg y\)

  3. \(\arcctg (-y) = \pi - \arcctg y.\)

2.11. Parzystość funkcji#

Definicja 2.16

Parzystą nazywamy funkcję \(f: X \to \rr\), jeśli

\[ \forall x\in X \quad -x \in X \wedge f(-x) = f(x). \]

Nieparzystą nazywamy funkcję \(f: X \to \rr\), jeśli

\[ \forall x\in X \quad -x \in X \wedge f(-x) = -f(x). \]

Uwaga 2.5

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi OY, zaś funkcji nieparzystej – względem początku układu współrzędnych.

Stwierdzenie 2.9

Niech \(X\subseteq \rr\), \(c\in\rr\) oraz \(f, g: X \to \rr\).

  1. Jeśli \(f,g\) są obie parzyste (odp. nieparzyste) to \(c\cdot f, f+g\) są również parzyste (odp. nieparzyste).

  2. Iloczyn dwóch funkcji parzystych (lub dwóch nieparzystych) jest funkcją parzystą, zaś funkcji parzystej i nieparzystej – funkcją nieparzystą.

  3. Jeśli istnieje funkcja odwrotna do funkcji nieparzystej, to jest również funkcją nieparzystą.

Przykład 2.18

  1. Funkcje parzyste to na przykład:

    \[ x^{2},\ |x|,\ -3 \cos x,\ 5x^4 + x \tg x,\ 2^x + 2^{-x}. \]

  2. Funkcje nieparzyste to na przykład:

    \[ x,\ x^{3},\ \sin 2x,\ \arcsin x,\ \tg x,\ \arctg x,\ \dfrac x {|x|},\ 2^x - 2^{-x}. \]