14. Szeregi potęgowe#
14.1. Ciągi funkcyjne#
Narration
Niech \(X\subseteq \rr\) i dla każdego \(n\in \nn\) niech \(f_n:X \to \rr\) będzie pewną funkcją.
Definicja 14.1
Ciągiem funkcyjnym nazywamy przyporządkowanie \(\nn\ni n \mapsto f_n,\) i oznaczamy je przez
Przykład 14.1
W toku wykładu interesujące okażą się ciągi funkcyjne:
funkcji potęgowych, gdzie \(f_n:\rr \to \rr\), \(f_n(x) = x^{n-1}\ \)
jego ogólniejsza odmiana, gdzie \(x_0\in\rr\) jest ustalone i \(f_n:\rr \to \rr\),
\[ f_n(x) = (x - x_0)^{n-1} \]funkcji trygonometrycznych cosinus, gdzie \(\ell\in\rr_+\) jest ustalone i \(f_n:\rr \to \rr\),
\[ \displaystyle f_n(x) = \cos \frac {(n-1)\pi}{\ell} x; \]funkcji trygonometrycznych sinus, gdzie \(\ell\in\rr_+\) jest ustalone i \(f_n:\rr \to \rr\),
\[ \displaystyle f_n(x) = \sin \frac {n\pi}{\ell} x. \]
Definicja 14.2
Ciąg funkcyjny \((f_n)\) nazywamy zbieżnym w zbiorze \(A\subseteq X\) do funkcji granicznej \(f:A\to\rr\), jeśli
Przykład 14.2
Dla funkcji potęgowych \(f_n(x) = x^{n-1}\), ciąg \((f_n)\) jest zbieżny na przedziale \((-1,1]\) do f.
\[\begin{split} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{dla } x\in (-1,1) \\ 1 & \text{dla } x = 1 \end{cases}. \end{split}\]Zauważmy, że ciąg funkcji ciągłych zbiegł do funkcji nieciągłej w punkcie \(x_0 = 1\).
Ogólniej, dla ustalonego \(x_0\in\rr\) i funkcji potęgowych \(f_n(x) = (x-x_0)^{n-1}\), ciąg \((f_n)\) jest zbieżny na przedziale \((x_0-1,x_0+1]\) do funkcji
\[\begin{split} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{jeśli } |x-x_0| < 1 \\ 1 & \text{dla } x = x_0+1 \end{cases}. \end{split}\]
14.2. Szeregi funkcyjne#
Narration
Niech \((f_n)_{n\in \nn}\) będzie ciągiem funkcyjnym.
Definicja 14.3
Dla \(k\in\nn\), funkcję \(S_k: X \to \rr\),
nazywamy \(k\)-tą sumą częściową ciągu funkcyjnego \((f_n)\).
Przykład 14.3
Dla ciągu funkcji potęgowych \(f_n(x) = x^{n-1}\), mamy
Definicja 14.4
Ciąg sum częściowych \((S_k)\) ciągu \((f_n)\) nazywamy szeregiem funkcyjnym i oznaczamy symbolem
Szereg funkcyjny \(\sum_{n = 1}^\infty f_n(x)\) nazywamy zbieżnym w zbiorze \(A\subseteq X\), jeśli \(\forall x\in A\) istnieje granica właściwa
którą nazywamy sumą szeregu.
W szczególności, jeśli szereg funkcyjny \(\sum_{n = 1}^\infty f_n(x)\) jest zbieżny w zbiorze \(A = \Set{x_0}\subseteq X\), czyli istnieje granica właściwa
to mówimy, że jest zbieżny w punkcie \(x_0\).
Przykład 14.4
Dla ciągu funkcji potęgowych \(f_n(x) = x^{n-1}\), granica właściwa ciągu sum częściowych istnieje dla \(x\in(-1,1)\) i jest równa
W dalszej części wykładu będziemy zainteresowani uogólnieniem tego przykładu.
Dla większej przejrzystości, oraz z powodów historycznych, zapiszemy powyższą tożsamość w postaci:
Stwierdzenie 14.1
Niech \(c\in \rr\) i \((f_n)_{n\in \nn}\), \((g_n)_{n\in \nn}\) będą ciągami funkcyjnymi.
Jeśli dla \(x \in A\) zbieżne są szeregi \(\displaystyle \Series f_n(x)\) i \(\displaystyle \Series g_n(x)\), wówczas:
\(\displaystyle \Series (f_n(x) + g_n(x)) = \Series f_n(x) + \Series g_n(x)\ \),
\(\displaystyle \Series c\cdot f_n(x) = c\cdot \Series f_n(x)\ \).
14.3. Definicja szeregu potęgowego#
Narration
Niech \((a_n)_{n\in\nn_0}\) będzie ciągiem liczb rzeczywistych (indeksowanym od \(n=0\)) i \(x_0\in \rr\).
Definicja 14.5
Szeregiem potęgowym nazywamy szereg funkcyjny
odpowiadający ciągowi funkcyjnemu \((f_n)_{n\in\nn_0}\), dla \(f_n(x) = a_n(x-x_0)^n.\)
Przykład 14.5
Każdy szereg potęgowy jest zbieżny dla \(x = x_0\) do \(a_0\).
Istotnie,
\[ \SeriesP a_n(x_0-x_0)^n = \LimInfty \sum_{k = 0}^n a_k(x_0-x_0)^k = \LimInfty a_0 = a_0. \]Dla \(a_n = a \in \rr\) i \(x_0 = 0\), otrzymujemy szereg potęgowy geometryczny
\[ \SeriesP a \cdot x^n, \]który jest zbieżny do \(\displaystyle \frac a {1-x}\) dla \(|x|<1\).
Uwaga 14.1
Ponieważ ogólny szereg potęgowy \(\displaystyle \SeriesP a_n(x-x_0)^n\) można poprzez zamianę zmiennych \(y = x-x_0\) sprowadzić do szeregu potęgowego \(\displaystyle \SeriesP a_n y^n\), to od tego momentu będziemy formułować twierdzenia jedynie szeregów gdy \(x_0=0\).
14.4. Zbieżność szeregów potęgowych#
Definicja 14.6
Obszarem zbieżności szeregu potęgowego \(\displaystyle \SeriesP a_n x^n\) nazywamy zbiór
tych punktów dla których ten szereg potęgowy jest zbieżny.
Narration
Ponieważ \(0\in \ConvergeSet\), to jest on niepusty.
Przykład 14.6
Obszarem zbieżności szeregu potęgowego geometrycznego,
jest przedział \(\ConvergeSet = (-1,1)\).
Stwierdzenie 14.2
Jeśli szereg potęgowy \(\displaystyle \SeriesP a_n x^n\) jest zbieżny dla \(x=\rho\in\rr\), to jest bezwzględnie zbieżny dla każdego \(x\) spełniającego warunek \(|x|<|\rho|.\)
Uwaga 14.2
Powyższe stwierdzenie mówi, że dla szeregu potęgowego \(\displaystyle \SeriesP a_n x^n\) mamy
Możliwe są dwa przypadki:
\(\ConvergeSet\) jest ograniczony i wtedy istnieje liczba \(R\geq 0\) taka, że
\[ (-R,R) \subseteq \ConvergeSet \quad \wedge \quad \SeriesP a_n x^n \text{ jest rozbieżny dla } x\in (-\infty, R)\cup(R,+\infty). \]\(\ConvergeSet\) jest nieograniczony i wtedy \(\ConvergeSet = \rr\).
W tym wypadku przyjmiemy \(R = +\infty.\)
Definicja 14.7
Liczbę \(R\) z powyższej uwagi nazywamy promieniem zbieżności szeregu potęgowego \(\displaystyle \SeriesP a_n x^n .\)
Uwaga 14.3
Z definicji promienia zbieżności \(R\) szeregu potęgowego oraz Stw. 14.2 wynika, że możliwe są trzy przypadki:
\(R = 0 \quad\) i \( \quad\ConvergeSet = \Set{0}\).
\(0 < R < +\infty \quad\) i \( \quad(-R,R)\subseteq \ConvergeSet \subseteq [-R,R]\).
Dla \(x\in\Set{-R,R}\) nie możemy ogólnie stwierdzić, czy szereg jest zbieżny.
Potrzebna jest dalsza analiza.
\(R = +\infty \quad\) i \( \quad\ConvergeSet = \rr\).
Definicja 14.8
Z powyższych rozważań wynika, że obszar zbieżności \(\ConvergeSet\) jest de facto przedziałem zbieżności.
Twierdzenie 14.3
Jeśli dla szeregu potęgowego \(S(x) = \SeriesP a_n x^n\) promień zbieżności \(R\neq 0\), to:
dla każdego \(x\in(-R, R)\) szereg \(\displaystyle \SeriesP a_n x^n\) jest zbieżny bezwzględnie
funkcja \(S:(-R,R)\to \rr\) jest ciągła
jeśli \(\displaystyle \SeriesP a_n R^n\) jest zbieżny, to funkcja \(S:(-R,R]\to \rr\) jest ciągła
jeśli \(\displaystyle \SeriesP a_n (-R)^n\) jest zbieżny, to funkcja \(S:[-R,R)\to \rr\) jest ciągła
jeśli \(\displaystyle \SeriesP a_n (-R)^n\) i \(\displaystyle \SeriesP a_n R^n\) są zbieżne, to funkcja \(S:[-R,R]\to \rr\) jest ciągła.
Narration
Aby znaleźć promień zbieżności szeregu potęgowego można się posługiwać kryteriami zbieżności szeregów.
Dwa z nich, kryterium d’Alemberta i Cauchy’ego odgrywają szczególną rolę i na ich podstawie można udowodnić następujące twierdzenie.
Twierdzenie 14.4 (o promieniu zbieżności)
Jeżeli istnieje jedna z granic (w pierwszym przypadku przy założeniu, że \(\forall n\in\nn_0 \ a_n \neq 0\))
to promień zbieżności szeregu potęgowego \(\displaystyle \SeriesP a_n x^n\) jest równy \( R = \begin{cases} 0 & \text{dla } \lambda = +\infty \\ \lambda^{-1} & \text{dla } 0 < \lambda < +\infty \\ +\infty & \text{dla } \lambda = 0 \\ \end{cases}. \)
Przykład 14.7
Granice z powyższego twierdzenia mają tę samą wartość pod warunkiem, że obie istnieją.
Możliwa jest jednak sytuacja gdy tylko druga z nich istnieje.
Na przykład, biorąc:
widzimy, że:
\(\displaystyle\left|\frac{a_{2k+1}}{a_{2k}} \right| = {2k+1}\), \(\displaystyle\left|\frac{a_{2k+2}}{a_{2k+1}} \right| = \frac 1 {2k+1}\), więc \(\LimInfty \left|\frac{a_{n+1}}{a_n} \right|\) nie istnieje;
\(\displaystyle 1\leq\sqrt[n]{|a_{n}|} \leq \sqrt[n]{n}\), więc na mocy twierdzenia o trzech ciągach \(\LimInfty\sqrt[n]{|a_{n}|} = 1\).
To oznacza, że \(\lambda = 1\) i promień zbieżności \(\displaystyle \SeriesP a_n x^n\) jest równy \(R=1\).
Zatem \((-1,1) \subseteq \ConvergeSet \subseteq [-1,1].\)
Zauważmy dalej, że dla \(x = 1\) otrzymujemy szereg \(\displaystyle \SeriesP a_n\), dla którego nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności, gdyż \(a_n \geq 1\), więc \(\LimInfty a_n \neq 0\).
Podobnie dla \(x = -1\) otrzymujemy szereg \(\displaystyle \SeriesP (-1)^n\cdot a_n\), dla którego również nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności, gdyż \(|a_n| \geq 1\), więc \(\LimInfty |a_n| \neq 0 \imply \LimInfty (-1)^n\cdot a_n \neq 0\).
Zatem \(\ConvergeSet = (-1,1)\).
Ćwiczenie 14.1
Znajdźmy przedziały zbieżności \(\ConvergeSet\) szeregów potęgowych:
\(\displaystyle \SeriesP \frac {x^n}{n!} \)
\(\displaystyle \SeriesP n!\cdot{x^n} \)
\(\displaystyle \SeriesP \frac {(x+1)^n}{2n + 1} \)
\(\displaystyle \SeriesP \frac {(-2x + 6)^n}{3^n + 2^n} . \)
Rozwiązanie
Rozważamy szereg \(\displaystyle \SeriesP \frac {x^n}{n!}\), dla którego \(a_n = \frac 1 {n!}\).
Obliczamy
\[ \Absolute{\frac{a_{n+1}}{a_n}} = \frac {n!} {(n+1)!} = \frac {1} {n+1} \LimToInfty 0 = \lambda . \]Zatem promień zbieżności \(R = + \infty\) oraz \(\ConvergeSet = \rr.\)
Rozważamy szereg \(\displaystyle \SeriesP n!\cdot{x^n}\), dla którego \(a_n = {n!}\).
Obliczamy
\[ \Absolute{\frac{a_{n+1}}{a_n}} = \frac {(n+1)!}{n!} = {n+1} \LimToInfty +\infty = \lambda . \]Zatem promień zbieżności \(R = 0\) oraz \(\ConvergeSet = \Set{0}.\)
Rozważamy szereg \(\displaystyle \sum_{n = 0}^\infty \frac {(x+1)^n}{2n + 1}\).
Przyjmijmy \(y = x + 1\) i rozważmy szereg potęgowy \(\displaystyle S(y) = \sum_{n = 0}^\infty a_n \cdot y_n\), gdzie \(\displaystyle a_n = \frac{1}{2n+1}\).
Obliczamy
\[\displaystyle \begin{aligned} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|= \frac {2n+1}{2n+3}= \frac {2 + \frac 1 n}{2 + \frac 3 n}\LimToInfty 1 = \lambda . \end{aligned}\]Zatem promień zbieżności \(\displaystyle \begin{aligned} R = 1 \end{aligned}\) oraz szereg \(S(y)\) jest zbieżny dla \(y \in (-1,1)\).
Pozostaje sprawdzić przypadki:
Dla \(y = -1\) mamy szereg \(\displaystyle S(y_-) = \SeriesP (-1)^n\cdot a_n\), gdzie \(\displaystyle a_n = \frac 1 {2n+1}.\)
Zauważmy, że \(a_n \LimToInfty 0\), oraz \(a_n\) jest nierosnąca.
Z kryterium Leibniza szereg \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n a_n\) jest zbieżny.
Dla \(y = 1\) mamy szereg \(\displaystyle S(y_+) = \SeriesP a_n\), gdzie \(\displaystyle a_n = \frac 1 {2n+1}.\)
Zauważmy, że
\[ 0 \leq \frac{1}{2(n+1)} \leq \frac 1 {2n+1} = a_n. \]Ponieważ \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2(n+1)}\) jest rozbieżny, bo równy \(\displaystyle \dfrac 1 2 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\), czyli połowie rozbieżnego szeregu harmonicznego, to z kryterium porównawczego szereg \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n\) jest rozbieżny.
Z tego wynika, że \(S(y)\) jest zbieżny dla \(y \in [-1, 1)\).
Ponieważ \(y = x+1\), to
\[ -1 \leq x+1 < 1 \quad\Leftrightarrow\quad -2 \leq x < 0. \]Podsumowując, przedział zbieżności szeregu, to \(\ConvergeSet = [-2,0).\)
Rozważamy szereg \(\displaystyle \sum_{n = 0}^\infty \frac {(-2x + 6)^n}{3^n + 2^n}\).
Przyjmijmy \(y = -2x + 6\) i rozważmy szereg potęgowy \(\displaystyle S(y) = \sum_{n = 0}^\infty a_n \cdot y_n\), gdzie \(\displaystyle a_n = \frac{1}{3^n + 2^n}\).
Obliczamy
\[\displaystyle \begin{aligned} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|= \frac {3^n + 2^n}{3^{n+1} + 2^{n+1}}= \frac {1 + \Paren{\frac 2 3}^n} {3\Paren{1 + \Paren{\frac 2 3}^{n+1}} }\LimToInfty \frac{1}{3} = \lambda . \end{aligned}\]Zatem promień zbieżności \(\displaystyle \begin{aligned} R = 3 \end{aligned}\) oraz szereg \(S(y)\) jest zbieżny dla \(\displaystyle \begin{aligned} y \in \left( -3, 3 \right) \end{aligned}\).
Pozostaje sprawdzić przypadki:
Dla \(y_- = -3\) mamy szereg \(\displaystyle S(y_-) = \SeriesP a_n\), gdzie \(\displaystyle a_n = \frac {(-3)^n} {3^n + 2^n}.\)
Ponieważ granica \(\LimInfty a_n\) nie istnieje (dowód pozostawiam czytelnikowi), to z kryterium koniecznego szereg jest rozbieżny.
Dla \(y_+ = 3\) mamy szereg \(\displaystyle S(y_+) = \SeriesP a_n\), gdzie \(\displaystyle a_n = \frac {3^n} {3^n + 2^n}.\)
Zauważmy, że
\[ a_n = \frac {3^n} {3^n + 2^n} \LimToInfty 1 \neq 0. \]Z kryterium koniecznego szereg \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n\) jest rozbieżny.
Ponieważ \(y = -2x + 6\), to
\[\displaystyle \begin{aligned} -3 \leq -2x + 6 < 3\quad\Leftrightarrow\quad\frac 9 2 > x > \frac 3 2. \end{aligned}\]Podsumowując, przedział zbieżności szeregu, to \(\displaystyle \ConvergeSet = \left(\frac 3 2, \frac 9 2\right).\)
14.5. Różniczkowanie i całkowanie szeregów potęgowych#
Narration
Przypomnijmy, że dla \(n \in \nn_0\):
Twierdzenie 14.5
Jeśli dla szeregu potęgowego \(\displaystyle \SeriesP a_n x^n\) promień zbieżności \(R>0\), to dla każdego \(x\in(-R,R)\) zachodzi:
\( \displaystyle \Diff{}\left( {\SeriesP a_n x^n} \right) = \SeriesP a_n ( x^n)' = \Series a_n {n \cdot x^{n-1}} \)
\( \displaystyle \IntDef[t]{0}{x}{\SeriesP a_n t^n} = \SeriesP a_n \IntDef[t]{0}{x}{ t^n} = \SeriesP \frac {a_n} {n+1} \cdot x^{n+1}. \)
Ponadto promienie zbieżności szeregów po prawej stronie są równe \(R\).
Przykład 14.8
Dla szeregu \(\displaystyle S(x)= \SeriesP \frac {x^n}{n!}\)
liczymy pochodną:
\[ \Diff{} S(x) = \SeriesP \frac 1 {n!}\cdot ( x^n)' = \Series \frac 1 {n!} \cdot n \cdot x^{n-1} = \Series \frac 1 {(n-1)!} \cdot x^{n-1} = \SeriesP \frac 1 {n!} \cdot x^{n} = S(x) \]liczymy całkę:
\[\begin{split} \displaystyle \IntDef[t]{0}{x}{S(t)} & = \IntDef[t]{0}{x}{\SeriesP \frac 1 {n!} \cdot t^n} = \SeriesP \frac 1 {n!} \IntDef[t]{0}{x}{ t^n} = \SeriesP \frac 1 {n!} \cdot \frac {x^{n+1}}{n+1} = \SeriesP \frac {x^{n+1}} {(n+1)!} \\ & = \frac {x^1} {1!} + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^3} {3!} + \ldots = -1 + \frac {x^0} {0!} + \frac {x^1} {1!} + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^3} {3!} + \ldots \\ & = -1 + \SeriesP \frac {x^{n}} {n!} = -1 + S(x) . \end{split}\]
Wniosek 14.6
Przy założeniach z powyższego twierdzenia, dla każdego \(k\in\nn_0\) zachodzi
przy czym promień zbieżności szeregu występującego po prawej stronie jest równy \(R\).
Przykład 14.9
Załóżmy, że istnieje granica \(\LimInfty \Absolute{\dfrac {b_{n+1}} {b_n}} = \mu > 0\).
Promień zbieżności szeregu \(\displaystyle\SeriesP b_n x^n\) jest równy \(R = \mu^{-1}.\)
Szereg potęgowy
\[ \displaystyle\Diff{}\left( {\SeriesP b_n x^n} \right) = \Series b_n n \cdot x^{n-1} = \SeriesP (n+1) b_{n+1} \cdot x^{n} \]ma wyraz \(a_n = (n+1) b_{n+1}\).
Stąd
\[ \Absolute{\frac {a_{n+1}} {a_n}} = \Absolute{\frac {(n+2) b_{n+2}} {(n+1) b_{n+1}}} = \frac {n+2} {n+1} \cdot \Absolute{\frac {b_{n+2}}{b_{n+1}}} \LimToInfty 1 \cdot \mu = \mu. \]Promień zbieżności tego szeregu jest również równy \(R = \mu^{-1}.\)
Szereg potęgowy
\[ \displaystyle\IntDef[t]{0}{x}{\SeriesP b_n t^n} = \SeriesP \frac {b_n}{n+1}\cdot x^{n+1} = \Series \frac {b_{n-1}}{n}\cdot x^{n} \]ma wyraz \(a_n = \dfrac {b_{n-1}}{n}\).
Stąd
\[ \Absolute{\frac {a_{n+1}} {a_n}} = \Absolute{\frac {b_{n}} {n +1} \cdot \frac {n} {b_{n-1}}} = \Absolute{\frac {b_{n}}{b_{n-1}}} \cdot \frac n {n+1} \LimToInfty \mu \cdot 1 = \mu. \]
Promień zbieżności tego szeregu jest równy \(R = \mu^{-1}.\)
Ćwiczenie 14.2
Pokażmy, że \( \quad \displaystyle S(x) = \Series \frac{(-1)^{n+1}} n x^n = \ln(1+x) \quad \) dla \(x\in (-1,1]\).
Rozwiązanie
Ponieważ zachodzi równość
\[ \SeriesP q^n = \frac 1 {1-q} , \]gdy \(q \in (-1,1)\), to przyjmując \(q = -x\), otrzymamy:
\[\begin{split} \SeriesP (-1)^n \cdot x^n & = \frac 1 {1 + x} \\ \IntDef[t]{0}{x}{\SeriesP (-1)^n \cdot t^n } & = \IntDef[t]{0}{x}{\frac 1 {1 + t}} & & \text{dla } x \in (-1,1) . \end{split}\]Obliczamy obie strony tej równości:
\[\begin{split} \IntDef[t]{0}{x}{\SeriesP (-1)^n \cdot t^n } & = \SeriesP (-1)^n \cdot \IntDef[t]{0}{x}{t^n } = \SeriesP \frac {(-1)^n}{n+1} \cdot x^{n+1} = \Series \frac {(-1)^{n-1}}{n} \cdot x^{n} \\ \IntDef[t]{0}{x}{\frac 1 {1 + t}} & =\ln\Absolute{1 + t}\Big|_0^x = \ln(1+x) - \ln 1 = \ln(1+x). \end{split}\]To dowodzi równości dla \(x\in (-1,1).\)
Dla \(x = 1\) mamy
\[ S(1) = \Series \frac {(-1)^{n+1}}{n} \]i jest to szereg zbieżny (dowiedliśmy togo korzystając z kryterium Leibniza).
Ponieważ:
na mocy Tw. 14.3 funkcja \(S(x)\) jest ciągła dla \(x\in (-1,1]\)
zachodzi równość \( \quad \displaystyle S(x) = \Series \frac{(-1)^{n+1}} n x^n = \ln(1+x) \quad \) dla \(x\in (-1,1)\)
funkcja \(\ln(1+x)\) jest ciągła dla \(x\in (-1,1]\) jako złożenie f. ciągłych, to
\[ S(1) = \LimIn{1^-} S(x) = \LimIn{1^-} \ln(1+x) = \ln 2. \]To dowodzi równości dla \(x=1\).
Przy okazji otrzymaliśmy wartą uwagi równość
\[ \Series \frac {(-1)^{n+1}}{n} = \ln 2 . \]
Ćwiczenie 14.3
Obliczmy sumę szeregu \(\displaystyle S = \SeriesP[k] \frac {(k+1)(k+2)} { 2^k} .\)
Rozwiązanie
Ponieważ zachodzi równość
gdy \(x \in (-1,1)\), to po jej dwukrotnym zróżniczkowaniu otrzymamy:
Podstawiając \(x = \frac 1 2\) orzymamy rozwiązanie:
14.6. Szereg Taylora#
Narration
Niech \(x_0\in\rr\), \(r>0\) i \(f:X\to \rr\) będzie funkcją, która w każdym punkcie otoczenia \(Q(x_0,r)\) punktu \(x_0\) ma pochodną dowolnego rzędzu.
W takiej sytuacji z twierdzenia Taylora wynika, że dla każdego \(x\in Q(x_0,r)\) i każdego \(n\in\nn_0\)
przy czym istnieje \(c:Q(x_0,r) \to \rr\) o własności, że \(c(x)\) leży między \(x_0\) i \(x\), oraz
Jeśli dla każdego \(x\in Q(x_0,r)\) mamy \( \quad \LimInfty R_n(x) = 0,\) \(\quad\) to
Definicja 14.9
Szereg pojawiający się na końcu tej równości nazywamy szeregiem Taylora w otoczeniu punktu \(x_0\).
Dla \(x_0 = 0\) otrzymujemy szereg Maclaurina
Definicja 14.10
W takiej sytuacji mówimy, że funkcja \(f\) rozwija się w szereg Taylora (odpowiednio Maclaurina) w otoczeniu punktu \(x_0\).
Przykład 14.10
Nie każda funkcja różniczkowalna nieskończenie wiele razy, rozwija się w szereg Taylora!
Dla przykładu jeśli
to można pokazać, że ma ona pochodną dowolnego rzędu w każdym punkcie, przy czym \(f^{(k)}(0) = 0\) dla każdego \(k\in\nn_0\).
Zatem
Ponieważ \(f(x) \neq 0\) dla \(x\neq 0\), to nie jest spełniony warunek istnienia szeregu Taylora.
Stwierdzenie 14.7
Niech \(x_0\in\rr\), \(r>0\) i \(f:X\to \rr\) będzie funkcją, która w każdym punkcie otoczenia \(Q(x_0,r)\) punktu \(x_0\) ma pochodną dowolnego rzędzu.
Jeśli istnieje \(M>0\) takie, że dla każdego \(x\in Q(x_0,r)\) i każdego \(n\in\nn_0\)
\[ |f^{(n)}(x)| \leq M, \]to \(\LimInfty R_n(x) = 0\) dla każdego \(x\in Q(x_0,r)\).
Jeśli dla każdego \(x\in Q(x_0,r)\)
\[ f(x) = \SeriesP a_n(x-x_0)^n, \]to dla każdego \(n\in\nn_0\)
\[ a_n = \frac {f^{(n)}(x_0)}{n!}, \]czyli rozwinięcie Taylora jest jednoznaczne.
Przykład 14.11
Wiemy, że dla \(|x| < 1\) zachodzi równość
\[ f(x) = \frac 1 {1-x} = \SeriesP x^n = \SeriesP 1\cdot x^n . \]Na mocy stwierdzenia, jest to rozwinięcie Maclaurina funkcji \( f:(-1,1)\to \rr, \) zadanej powyższym wzorem.
Skoro \(a_n = 1\) dla każdego \(n\in \nn_0 ,\) to
\[ f^{(n)}(0) = n!\cdot a_n = n! . \]W Ćw. 14.2 pokazaliśmy, że dla \(x\in (-1,1]\) zachodzi równość
\[ f(x) = \ln(1+x) = \Series \frac{(-1)^{n+1}} n x^n. \]Ponownie, jest to rozwinięcie Maclaurina funkcji \(f:(-1,1]\to \rr\), zadanej powyższym wzorem.
Skoro \(a_n = \frac{(-1)^{n+1}} n\) dla każdego \(n\in \nn\), to
\[ f^{(n)}(0) = n!\cdot a_n = n!\cdot \frac{(-1)^{n+1}} n = (-1)^{n+1}(n-1)! \]Dla \(f(x) = e^x\), mamy \(f^{(n)}(x) = e^x\) dla każdego \(n\in \nn_0\).
Zatem \(f^{(n)}(0) = e^0 = 1\).
Stąd otrzymujemy szereg Maclaurina
\[ e^x = \SeriesP\frac {f^{(n)}(0)}{n!} x^n = \SeriesP \frac {x^n}{n!}. \]Jak już wiemy, ten szereg potęgowy jest zbieżny dla \(x\in \rr\).
Biorąc \(f(x) = \sin x\), swego czasu obliczyliśmy, że \( f^{(n)}(x) = \sin\left(x + n\cdot\frac \pi 2\right), \) dla \(n\in \nn_0\).
Dla \(x=0\) i \(k\in\nn_0\) mamy zatem
\[\begin{split} \begin{aligned} f^{(2k)}(0) = \sin\left(2k\cdot\frac \pi 2\right) & = 0 \\ f^{(2k+1)}(0) = \sin\left((2k+1)\cdot\frac \pi 2\right) & = (-1)^k. \end{aligned} \end{split}\]Stąd otrzymujemy rozwinięcie Maclaurina
\[ \sin x = \SeriesP \frac {f^{(n)}(0)}{n!}x^n = \SeriesP \frac {(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}. \]Ponieważ
\[ 0 \leq \left|\frac{f^{(n)}(0)} {n!} x^n\right| \leq \frac 1 {n!} |x|^n, \]to szereg ten jest (bezwzględnie) zbieżny dla \(x\in\rr\), gdyż szereg \(\displaystyle \SeriesP\frac 1 {n!} |x|^n = e^{|x|}\) jest dla nich zbieżny.
Analogicznie, dla \(x\in \rr\) otrzymamy rozwinięcie Maclaurina
\[ \cos x = \SeriesP \frac {(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}. \]Co prawda funkcje zmiennej zespolonej nie pojawią się na tym wykładzie, ale trudno powstrzymać się od uwagi, że jeśli przyjmiemy \(x = \alpha\cdot j \in \cc\), gdzie \(\alpha\in\rr\), to
\[\begin{split} \frac {x^n}{n!} = \frac {\alpha^n\cdot j^n}{n!} = \begin{cases} \displaystyle \frac {(-1)^k}{(2k)!} \alpha^{2k} & \text{dla } n=2k, k\in\nn_0 \\ \displaystyle j\cdot\frac {(-1)^k}{(2k+1)!} \alpha^{2k+1} & \text{dla } n=2k+1, k\in\nn_0 \end{cases}, \end{split}\]więc
\[\begin{split} e^{\alpha\cdot j} & = \SeriesP \frac {\alpha^n\cdot j^n}{n!} = \SeriesP[k] \frac {(-1)^k}{(2k)!} \alpha^{2k} + j\cdot \SeriesP[k] \frac {(-1)^k}{(2k+1)!} \alpha^{2k+1} \\ & = \cos\alpha + j\cdot\sin\alpha. \end{split}\]Właśnie stąd bierze się postać wykładnicza liczb zespolonych!
Ćwiczenie 14.4
Znajdźmy rozwinięcie Taylora funkcji \(f(x) = x\, e^x\) w otoczeniu punktu \(x_0 = 1\) i policzmy \(f^{(n)}(1)\) dla \(n\in\nn_0\).
Rozwiązanie
Zauważmy, że
gdzie trzecia równość wynika z rozwinięcia \( \displaystyle e^y = \SeriesP \frac {y^n} {n!}\) przy podstawieniu \(y = x-1\).
Szereg jest zbieżny dla \(y\in \rr\), więc również \(x\in \rr .\)
Pochodne obliczamy z zależności:
Dla przykładu \(\displaystyle \begin{aligned} f^{(2026)}(1) = 2027 \cdot e. \end{aligned}\)
Ćwiczenie 14.5
Rozwińmy w szereg Maclaurina funkcję \(f\), podając dla jakich \(x\in\rr\) prawdziwe jest to rozwinięcie (i oblicz pochodne):
\(f(x) =\ln\Paren{9 + x^2 }\), \(\quad\) oblicz: \(\; f^{(35)}(0),\ f^{(36)}(0)\)
\(\displaystyle f(x) = 2 x^5 \sin^2 x\), \(\quad\) oblicz: \(\; f^{(18)}(0),\ f^{(19)}(0)\)
\(\displaystyle f(x) = \frac {2x} {1 + 25x^2}\), \(\quad\) oblicz: \(\; f^{(12)}(0),\ f^{(13)}(0)\)
\(\displaystyle f(x) = \frac x {x^2 - 5x + 6}\), \(\quad\) oblicz: \(\; f^{(15)}(0)\)
\(\displaystyle f(x) = \frac {x^3-3x^2} {(x + 1)^2}\), \(\quad\) oblicz: \(\; f'(0),\ f^{(10)}(0).\)
Rozwiązanie
Zauważmy, że
\[\begin{split} f(x) & = \ln\Paren{9 + x^2 } = \ln\Brack{9\Paren{1 + \Paren{\frac x 3}^2 }} = \ln 9 + \ln\Paren{1 + \Paren{\frac x 3}^2 } \\ & = \ln 9 + \Series \frac{(-1)^{n+1}} n \Paren{\frac x 3}^{2n} = \ln 9 + \Series \frac{(-1)^{n+1}} {n\cdot 3^{2n}} \cdot x^{2n} \end{split}\]gdzie trzecia równość wynika z rozwinięcia \( \quad \displaystyle \ln(1+y) = \Series \frac{(-1)^{n+1}} n y^n \quad \) przy podstawieniu \(y = \Paren{\frac x 3}^2\).
Ponieważ szereg ten jest zbieżny dla \(-1 < y \leq 1\), to rozwinięcie \(f\) jest prawdziwe dla
\[ -1 < \Paren{\frac x 3}^2 \leq 1 \quad\Leftrightarrow\quad \Absolute{\frac x 3} \leq 1 \quad\Leftrightarrow\quad -3 \leq x \leq 3. \]Jeśli \(\displaystyle f(x) = \SeriesP[k] a_k\, x^k\), to \(\quad f^{(k)}(0) = k! \cdot a_k\), \(\quad\) więc:
dla \(k=35\), widzimy, że \( \quad 2n =35 \Leftrightarrow n=\frac {35} 2 \notin \nn\), \(\quad\) stąd
\[ f^{(35)}(0) = 35! \cdot 0 = 0 \]dla \(k=36\), widzimy, że \( \quad 2n =36 \Leftrightarrow n=18\), \(\quad\) stąd
\[ f^{(36)}(0) = 36! \cdot\frac{(-1)^{18+1}} {18\cdot 3^{2\cdot 18}} = - \frac {36!}{18\cdot 3^{36}}. \]
Zauważmy, że
\[\begin{split} f(x) & = 2 x^5 \sin^2 x = x^5(1 - \cos 2x) = x^5\cdot\left( 1 - \SeriesP \frac {(-1)^n}{(2n)!}(2x)^{2n} \right) \\ & = x^5\cdot\left( 1 - \frac {(-1)^0}{(2\cdot 0)!} - \Series \frac {(-1)^n}{(2n)!}(2x)^{2n} \right) \\ & = x^5\cdot\left( \Series \frac {(-1)^{n+1}\cdot 2^{2n}}{(2n)!} x^{2n} \right) = \Series \frac {(-1)^{n+1}\cdot 2^{2n}}{(2n)!} x^{2n+5} \end{split}\]gdzie trzecia równość wynika z rozwinięcia \( \quad \displaystyle \cos y = \SeriesP \frac {(-1)^n}{(2n)!}y^{2n} \quad \) przy podstawieniu \(y = 2x\).
Szereg ten jest zbieżny dla \(y\in \rr\), więc rozwinięcie \(f\) jest prawdziwe dla \(x \in \rr\).
Jeśli \(\displaystyle f(x) = \SeriesP[k] a_k\, x^k\), to \(\quad f^{(k)}(0) = k! \cdot a_k\), \(\quad\) więc:
dla \(k=18\), widzimy, że \( \quad 2n+5 =18 \Leftrightarrow n=\frac {13} 2 \notin \nn\), \(\quad\) stąd
\[ f^{(18)}(0) = 18! \cdot 0 = 0 \]dla \(k=19\), widzimy, że \( \quad 2n+5 =19 \Leftrightarrow n=7\), \(\quad\) stąd
\[ f^{(19)}(0) = 19! \cdot \frac {(-1)^{7+1}\cdot 2^{2\cdot 7}}{(2\cdot 7)!} = \frac {19! \cdot 2^{14}}{14!}. \]
Zauważmy, że
\[ f(x) =\frac {2x} {1 + 25x^2} = \frac {2x} {1 - (-25x^2) } = 2x \cdot \SeriesP \left(-25x^2 \right)^n = \SeriesP 2\cdot (-25)^n\cdot x^{2n+1}, \]gdzie druga równość wynika z rozwinięcia \( \displaystyle \frac 1 {1 -y} = \SeriesP y^n\) przy podstawieniu \(y = -25x^2\).
Ponieważ szereg ten jest zbieżny dla \(|y| < 1\), to rozwinięcie \(f\) jest prawdziwe dla
\[ \left|-25x^2\right| < 1 \quad\Leftrightarrow\quad 25 |x|^2 < 1 \quad\Leftrightarrow\quad |x| < \tfrac 1 5 \quad\Leftrightarrow\quad x \in \Paren{-\tfrac 1 5,\ \tfrac 1 5}. \]Jeśli \(\displaystyle f(x) = \SeriesP[k] a_k\, x^k\), to \(\quad f^{(k)}(0) = k! \cdot a_k\), \(\quad\) więc:
dla \(k=13\), widzimy, że \( \quad 2n+1 =13 \Leftrightarrow n=6\), \(\quad\) stąd
\[ f^{(13)}(0) = 13! \cdot 2\cdot (-25)^6 = 2\cdot 13! \cdot 5^{12} \]dla \(k=14\), widzimy, że \( \quad 2n+1 =14 \Leftrightarrow n=\frac{13}{12} \notin \nn_0\), \(\quad\) stąd
\[ f^{(14)}(0) = 14! \cdot 0 = 0. \]
Zauważmy, że \(\displaystyle \begin{aligned} x^2 - 5x +6 = {\left(x - 2\right)} {\left(x - 3\right)} \end{aligned}\), więc
\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} f(x) & = x \cdot \frac{1}{x^2 - 5x + 6} = x \cdot \frac{1}{ {\left(x - 2\right)} {\left(x - 3\right)} }\\ & = x \cdot \left(\frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-2}\right) = -\frac{x}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x}{3}} + \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x}{2}}\\ & = -\frac{x}{3} \cdot \SeriesP \left(\frac{x}{3}\right)^n + \frac{x}{2} \cdot \SeriesP \left(\frac{x}{2}\right)^n = \SeriesP \left[\frac{1}{2^{n+1}} - \frac{1}{3^{n+1}}\right] x^{n+1} \end{aligned}\end{split}\]gdzie piąta równość wynika z rozwinięcia \( \quad \displaystyle \frac 1 {1 -y} = \SeriesP y^n \quad \) przy podstawieniu: \(y = \frac x 3\) w pierwszym; oraz \(y = \frac x 2\) w drugim składniku.
Ponieważ szereg ten jest zbieżny dla \(|y| < 1\), to rozwinięcie \(f\) jest prawdziwe dla
\[ \left|\frac x 3\right| < 1 \wedge \left|\frac x 2\right| < 1 \quad\Leftrightarrow\quad |x| < 3 \wedge |x| < 2 \quad\Leftrightarrow\quad x \in (-2,2). \]Jeśli \(\displaystyle f(x) = \SeriesP[k] a_k\, x^k\), to \(f^{(k)}(0) = k! \cdot a_k\), więc dla \(k=15\) widzimy, że \( \quad n+1 = 15 \Leftrightarrow n=14,\) \(\quad\) skąd
\[ f^{(15)}(0) = 15! \cdot \left[ \frac 1 {2^{15}} -\frac 1 {3^{15}} \right]. \]Zauważmy, że
\[\begin{split} \frac 1 {1+x} & = \SeriesP (-x)^n \Quad \imply - \frac 1 {\Paren{1+x}^{2}} = \Series (-1)^n\cdot n\cdot x^{n-1} \\ f(x) & = \Paren {x^3-3x^2} \cdot \frac 1 {(x + 1)^2} = (x^3-3x^2)\cdot \Series (-1)^{n+1}\cdot n\cdot x^{n-1} \\ & = \Series (-1)^{n+1}\cdot n\cdot x^{n+2} + \Series 3 (-1)^{n+2}\cdot n\cdot x^{n+1} \\ & = \sum_{k=3}^\infty (-1)^{k-1}\cdot (k-2)\cdot x^{k} + \sum_{k=2}^\infty 3 (-1)^{k+1}\cdot (k-1)\cdot x^{k} \\ & = 3(-1)^3\cdot x^2 + \sum_{k=3}^\infty \Brack{(-1)^{k-1}\cdot (k-2) + 3 (-1)^{k+1}\cdot (k-1)}\cdot x^{k} \\ & = -3 x^2 + \sum_{k=3}^\infty (-1)^{k+1}\cdot (k-2 + 3k-3)\cdot x^{k} \\ & = -3 x^2 + \sum_{k=3}^\infty (-1)^{k+1}\cdot (4k-5)\cdot x^{k} \\ & = \sum_{k=2}^\infty (-1)^{k+1}\cdot (4k-5)\cdot x^{k} . \end{split}\]Rozwinięcie \(f\) jest prawdziwe dla
\[ -1 < -x < 1 \quad\Leftrightarrow\quad -1 < x < 1 . \]Jeśli \(\displaystyle f(x) = \SeriesP[k] a_k\, x^k\), to \(\quad f^{(k)}(0) = k! \cdot a_k\), \(\quad\) więc:
dla \(k=1\), widzimy, że sumowanie zaczyna się od \(k=2\) stąd
\[ f'(0) = 1! \cdot 0 = 0 \]dla \(k=10\), mamy
\[ f^{(10)}(0) = 10! \cdot (-1)^{10+1}\cdot (4\cdot 10-5) = -35\cdot 10! . \]