Funkcje

2. Funkcje#

2.1. Zadania na zajęcia#

Ćwiczenie 2.1

Dla \(x\in\rr\) symbol \([x]\) oznacza największą liczbę całkowitą nie większą niż \(x.\) Naszkicuj wykresy funkcji:

\[ f(x) = [x], \quad g(x)=x-[x]. \]

Można wspomóc się pakietem GEOGEBRA lub powyższą komórką Sage, ale należy przemyśleć jak to uzasadnić z pomocą obliczeń.

Ćwiczenie 2.2

Oblicz wartość wyrażenia:

  1. \(\arccos\left(\sin\left(\displaystyle\frac{32}{5}\pi\right)\right)\)

  2. \(\arcsin\left(\cos\left(-\displaystyle\frac{7}{11}\pi\right)\right).\)

Ćwiczenie 2.3

Naszkicuj wykresy funkcji i na tej podstawie zbadaj, czy są okresowe podając okres podstawowy (jeśli ma to sens) dla:

  1. \(f_1(x) = \sin\Paren{\arcsin(x)} \qtq[oraz] f_2(x) = \arcsin\Paren{\sin x}\)

  2. \(f_1(x)=\sin(\pi x) \qtq[oraz] f_2(x)=\ctg x\cdot |\sin x|.\)

Można wspomóc się pakietem GEOGEBRA lub powyższą komórką Sage, ale należy przemyśleć jak to uzasadnić z pomocą obliczeń.

Ćwiczenie 2.4

Korzystając z definicji, zbadaj parzystość funkcji:

  1. \(f(x)=x\cdot\Paren{2^x-2^{-x}}\)

  2. \(f(x)=\log_2\Paren{x+\sqrt{x^2+1}}.\)

Ćwiczenie 2.5

Rozstrzygnij, czy ciąg \(\Paren{a_n}\) o podanych wyrazach jest monotoniczny. Jeśli to możliwe podaj \(n_0\in \nn\) takie, że dla każdego \(n \geq n_0\) zachodzi \(a_{n+1} > a_n\) lub dla każdego \(n \geq n_0\) zachodzi \(a_{n+1} < a_n\).

  1. \(a_n = n^2 - 8n + 7\)

  2. \(a_n = -\dfrac 2 {n + 3\arctan n}.\)

2.2. Zadania domowe#

Ćwiczenie 2.6

Oblicz wartość wyrażenia:

  1. \(\arccos\Paren{\sin\Paren{\dfrac{11}{7}}}\)

  2. \(\arccos\Paren{\sin\Paren{\dfrac{3}{5}\pi}}\)

  3. \(\arcsin\Paren{\cos\Paren{-\dfrac{5}{11}}}\)

  4. \(\arcsin\Paren{\cos\Paren{-\dfrac{3}{5}\pi}} .\)

Ćwiczenie 2.7

Naszkicuj wykresy funkcji i na tej podstawie zbadaj, czy są okresowe podając okres podstawowy (jeśli ma to sens) dla:

  1. \(f_1(x) = \cos\Paren{\arccos(x)} \qtq[oraz] f_2(x) = \arccos\Paren{\cos x}\)

  2. \(f_1(x) = \cos\dfrac x \pi \qtq[oraz] f_2(x)=(\sin x+\cos x)^2\)

  3. \(f(x)=[2\sin x]\ .\)

Ćwiczenie 2.8

Rozstrzygnij, czy ciąg \(\Paren{a_n}\) o podanych wyrazach jest monotoniczny. Jeśli to możliwe podaj \(n_0\in \nn\) takie, że dla każdego \(n \geq n_0\) zachodzi \(a_{n+1} > a_n\) lub dla każdego \(n \geq n_0\) zachodzi \(a_{n+1} < a_n\).

  1. \(a_n = \log_2 {2n + 3^n}\)

  2. \(a_n = \cos{\dfrac{\pi n} 2}\)

  3. \(a_n = \sin\Paren{\dfrac {10\pi} {n+1}} .\)