8. Całka nieoznaczona#
8.1. Funkcja pierwotna#
Narration
Niech będzie dana funkcja \(f:X \to \rr\) na przedziale \(X\subseteq \rr\).
Definicja 8.1
Funkcją pierwotną funkcji \(f\) nazywamy funkcję \(F:X \to \rr\), jeśli
Uwaga 8.1
W powyższej definicji, jeśli przedział \(X\) jest jednostronnie lub obustronnie domknięty, to odpowiednią pochodną \(F'\) traktujemy jako jednostronną.
Przykład 8.1
Funkcje \(\ln x, \pi + \ln x \) są pierwotne dla funkcji \(f(x) = \frac 1 x\) na \((0,+\infty)\).
Funkcje \(\sin x, -23 + \sin x\) są pierwotne dla funkcji \(f(x) = \cos x\) na \(\rr\).
Ćwiczenie 8.1
Pokażmy, że funkcje \(\tfrac 1 2 \sin^2 x,\ -\tfrac 1 2 \cos^2 x,\ -\tfrac 1 4 \cos 2x\) są pierwotne dla funkcji \(f(x) = \sin x \cos x\) na \(\rr\).
Informacja
Pomoże rozwiązać Ćw. 8.20.
Rozwiązanie
Wystarczy policzyć pochodne tych funkcji:
Twierdzenie 8.1
Jeśli \(f:X\to \rr\) jest ciągła na przedziele \(X\subseteq \rr\), to istnieje jej funkcja pierwotna.
Przykład 8.2
Twierdzenie nie jest prawdziwe w przeciwną stronę.
Istnieją nieciągłę funkcje \(f\), dla których istnieją funkcje pierwotne.
Dla przykładu niech:
Pokażmy, że \(f\) nie jest ciągła w \(x=0\).
Weźmy ciąg
\[ a_n = \frac 1 {\tfrac \pi 2 + 2 \pi n} \LimToInfty 0, \]dla którego
\[ f(a_n) = \frac {2 \cos \Paren{\tfrac \pi 2 + 2 \pi n}} {\tfrac \pi 2 + 2 \pi n} + \sin \Paren{\tfrac \pi 2 + 2 \pi n} = \frac {2 \cos {\tfrac \pi 2 }} {\tfrac \pi 2 + 2 \pi n} + \sin {\tfrac \pi 2} = 1 \LimToInfty 1. \]Zatem \(\LimIn{0} f(x) \neq 0 = f(0)\) (bez względu na to czy granica istnieje).
Pokażmy, że \(F'(x) = f(x)\).
Dla \(x \neq 0\) funkcja \(F\) jest różniczkowalna jako iloczyn funkcji różniczkowalnych i jej pochodna jest równa
\[ F'(x) = 2x \cos \tfrac 1 x - x^2 \sin \tfrac 1 x \cdot \Paren{- \tfrac 1 {x^2}} = 2x \cos \tfrac 1 x + \sin \tfrac 1 x . \]Dla \(x = 0\) skorzystamy z definicji pochodnej:
\[ F'(0) = \LimIn[\DeltaX] 0 \frac {F(0 + \DeltaX) - F(0)} { \DeltaX} = \LimIn[\DeltaX] 0 \frac {\DeltaX^2 \cos \tfrac 1 {\DeltaX} } { \DeltaX} = \LimIn[\DeltaX] 0 {\DeltaX \cdot \cos \tfrac 1 {\DeltaX} } = 0, \]ponieważ \(\DeltaX \LimTo[\DeltaX]{0} 0\) oraz \(\Absolute{\cos \tfrac 1 {\DeltaX}} \leq 1\).
8.2. Definicja całki nieoznczonej#
Twierdzenie 8.2 (podstawowe o funkcjach pierwotnych)
Niech \(X\subseteq \rr\) będzie przedziałem.
Jeśli \(F:X\to\rr\) jest funkcją pierwotną funkcji \(f:X\to\rr\), to:
dla każdej stałej \(C\in\rr\), funkcja \( F_C(x) = F(x) + C\) jest funkcją pierwotną \(f\)
jeśli \(F_1\) i \(F_2\) są funkcjami pierwotnymi \(f\), to istnieje stała \(C\in\rr\) taka, że \(F_2(x) = F_1(x) + C\).
Uwaga 8.2
GEOGEBRA W powyższym twierdzeniu bardzo istotne jest założenie, że \(X\) jest przedziałem.
Na przykład
są funkcjami pierwotnymi \(f(x) = \dfrac 1 x,\) ale \(\forall C \in \rr \quad F_2(x) \neq F_1(x) + C .\)
Wniosek 8.3
Jeśli \(X\subseteq \rr\) jest przedziałem i istnieje \(F:X \to \rr\) funkcja pierwotna \(f:X \to \rr\), to
jest zbiorem wszystkich funkcji pierwotnych \(f\).
Definicja 8.2
Całką nieoznaczoną funkcji \(f:X\to \rr\) na przedziale \(X\) nazywamy zbiór \(\Int{ f(x)}\) z powyższego wniosku.
Narration
Zwyczajowo, jeśli \(F\) jest pewną funkcją pierwotną \(f\) na przedziale \(X\), to piszemy:
Wskazówka
Podstawowe całki nieoznaczone:
\(\displaystyle \Int{ x^{\alpha} } = \dfrac {x^{\alpha +1}} {\alpha +1} + C \quad\) dla \(\alpha \in \rr\setminus\Set{-1} \)
\(\displaystyle \Int{ \frac 1 x } = \ln |x| + C \)
\(\displaystyle \Int{ a^x } = \dfrac{a^x}{\ln a} + C \quad\) dla \(a \in \rr_+ \setminus \Set{1} \)
\(\displaystyle \Int{ \sin x } = -\cos x + C \)
\(\displaystyle \Int{ \cos x } = \sin x + C \)
\(\displaystyle \Int{ \frac 1 {\cos^2 x}} = \tg x + C \)
\(\displaystyle \Int{ \frac 1 {\sin^2 x}} = \ctg x + C \)
\(\displaystyle \Int{ \frac 1 {\sqrt{1- x^2}}} = \arcsin x + C \)
\(\displaystyle \Int{ \frac 1 {1 + x^2}} = \arctg x + C .\)
8.3. Działania na całkach#
Twierdzenie 8.4 (o działaniach arytmetycznych na całkach)
Niech \(X\) będzie przedziałem i niech \(f,g:X \to \rr\) będą funkcjami, dla których istnieją funkcje pierwotne.
Wówczas:
\(\displaystyle \Int{c\cdot f(x)} = c\cdot \Int{f(x)},\)
\(\displaystyle \Int{f(x) \pm g(x)} = \Int{f(x)} \pm \Int{g(x)},\)
jeśli \(\forall x \in X \ f(x)\neq 0\) i \(f\) jest różniczkowalna, to \(\quad \displaystyle \Int{ \frac {f'(x)}{f(x)}} = \ln\left| f(x) \right| + C.\)
Ćwiczenie 8.2
Policzmy całki nieoznaczone:
\(\displaystyle \Int{(x^2 - 2x) \sqrt[3]{x}}\)
\(\displaystyle \Int{ \tg x } \)
\(\displaystyle \Int{ \frac 1 {3x -2} } \)
\(\displaystyle \Int{ \frac x {x^2 - 1} +5\,\ctg x }.\)
Rozwiązanie
\(\displaystyle \begin{aligned} \displaystyle \Int{(x^2 - 2x) \sqrt[3]{x}} = \Int{x^{\frac 7 3} - 2x^{\frac 4 3}} = \dfrac { x^{\frac 7 3 + 1}} {\frac 7 3 + 1} - 2\dfrac { x^{\frac 4 3 + 1}} {\frac 4 3 + 1} + C = \frac{1}{24} \, x^{8} - \frac{2}{15} \, x^{5} + C \; \end{aligned}\)
\( \displaystyle \Int{ \tg x } = \Int{ \frac {\sin x} {\cos x} } = \Int{ - \frac {(\cos x)'} {\cos x} } = - \ln |\cos x| + C \)
\( \displaystyle \Int{ \frac 1 {3x -2} } = \Int{ \frac 1 3 \cdot\frac 3 {3x -2} } = \frac 1 3 \cdot \Int{ \frac {(3x -2)'} {3x -2} } = \frac 1 3 \ln |3x -2| + C \)
Korzystając ze wszystkich własności zapisanych w twierdzeniu,
\[\begin{split} \begin{aligned} \Int{ \frac x {x^2 - 1} +5\,\ctg x } & = \Int{ \frac 1 2 \cdot \frac {2x} {x^2 - 1}} +5\cdot \Int { \frac {\cos x} {\sin x} } \\ & = \frac 1 2 \cdot \Int{ \frac {(x^2 - 1)'} {x^2 - 1}} +5\cdot \Int { \frac {(\sin x)'} {\sin x} } \\ & = \frac 1 2 \ln \Absolute{x^2 - 1} + 5 \ln\Absolute{\sin x} + C . \end{aligned} \end{split}\]
Twierdzenie 8.5 (o całkowaniu przez części)
Niech \(X\) będzie przedziałem i niech \(f,g:X \to \rr\) będą funkcjami różniczkowalnymi oraz \(f',g':X \to \rr\) będą ciągłe.
Wówczas
Ćwiczenie 8.3
Policzmy całki nieoznaczone:
\(\displaystyle \Int{ \ln x } \)
\(\displaystyle \Int{x\,\sin x} \)
\(\displaystyle \Int{ \frac {\ln x} {x^3} } \)
\(\displaystyle \Int{ x\, \arctg x } .\)
Rozwiązanie
Na początek podchwytliwy przykład, gdzie wydaje się, że brakuje drugiego czynnika:
\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned}\Int{ \ln x } =\Int{ \ln x \cdot 1 } & = \renewcommand{\log}{\ln}\WaveBrack{f( x ) & = \log\left(x\right) & g'( x ) & = 1 \\ f'( x ) & = \frac{1}{x} & g( x ) & = x } \\\\ & = \log\left(x\right) \cdot x - \Int[ x ]{ \frac{1}{x} \cdot x } \\ & = x \ln x - \Int 1 \\ & = x \ln x - x + C \\ & = x \Paren{\ln x - 1} + C \end{aligned}\end{split}\]Najprostszy przykład całkowania iloczynu wielomianu i funkcji sinus:
\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned}\Int{x\,\sin x} & = \renewcommand{\log}{\ln}\WaveBrack{f( x ) & = x & g'( x ) & = \sin\left(x\right) \\ f'( x ) & = 1 & g( x ) & = -\cos\left(x\right) } \\\\ & = x \cdot \Paren{-\cos\left(x\right)} - \Int[ x ]{ 1 \cdot \Paren{-\cos\left(x\right)} } \\ & = -x \cos x + \Int{\cos x} \\ & = -x \cos x + \sin x + C \end{aligned}\end{split}\]Kolejny przykład z funkcją logarytmiczną:
\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned}\Int{ \frac {\ln x} {x^3} } =\Int{ \ln x \cdot \frac {1} {x^3} } & = \renewcommand{\log}{\ln}\WaveBrack{f( x ) & = \log\left(x\right) & g'( x ) & = \frac{1}{x^{3}} \\ f'( x ) & = \frac{1}{x} & g( x ) & = -\frac{1}{2 \, x^{2}} } \\\\ & = \log\left(x\right) \cdot \Paren{-\frac{1}{2 \, x^{2}}} - \Int[ x ]{ \frac{1}{x} \cdot \Paren{-\frac{1}{2 \, x^{2}}} } \\ & = - \frac {\ln x} { 2x^2} + \frac 1 2 \cdot \Int {\frac 1 {x^{3}}} \\ & = - \frac {\ln x} { 2x^2} - \frac 1 4 \cdot{\frac 1 {x^{2}}} + C \end{aligned}\end{split}\]Wykorzystujemy fakt, że pochodna \(\arctg\) jest funkcją wymierną:
\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned}\renewcommand{\arctan}{\arctg}\displaystyle \Int{ x\, \arctg x } & = \renewcommand{\log}{\ln}\WaveBrack{f( x ) & = \arctan\left(x\right) & g'( x ) & = x \\ f'( x ) & = \frac{1}{x^{2} + 1} & g( x ) & = \frac{1}{2} \, x^{2} } \\\\ & = \arctan\left(x\right) \cdot \frac{1}{2} \, x^{2} - \Int[ x ]{ \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{1}{2} \, x^{2} } \\ & = \frac 1 2 x^2 \arctg x - \frac 1 2 \Int{ \frac {\Paren{1 + x^2} - 1}{ 1 + x^2}} \\ & = \frac 1 2 x^2 \arctg x - \frac 1 2\Brack{\Int{1} - \Int{ \frac {1}{ 1 + x^2}}} \\ & = \frac 1 2 x^2 \arctg x - \frac 1 2\Paren{x - \arctg x} + C . \end{aligned}\end{split}\]
Ćwiczenie 8.4
Policzmy całkę nieoznaczoną \(I = \displaystyle\Int{\sin^2 x}. \)
Informacja
Pomoże rozwiązać Ćw. 8.21.
Rozwiązanie
Zaczynamy o całkowania przez części:
W konsekwencji otrzymujemy:
Uwaga 8.3
Całkowanie przez części można zastosować kilka razy.
Ta metoda pozwala obliczyć całki:
gdzie \(\alpha\in\rr,\ a \in \rr_+ \setminus \Set 1\), zaś \(w\in\rr[x]\) jest dowolnym wielomianem.
Ćwiczenie 8.5
Policzmy całki nieoznaczone:
\(\displaystyle\Int{ x^2 e^x } \)
\(\displaystyle\Int{ e^{-x} \cos x } .\)
Rozwiązanie
Ponieważ wielomian \(x^2\) jest stopnia 2, to dwukrotnie zastosujemy całkowanie przez części:
\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} \Int{ x^2 e^x }& =\renewcommand{\log}{\ln}\WaveBrack{f( x ) & = x^{2} & g'( x ) & = e^{x} \\ f'( x ) & = 2 \, x & g( x ) & = e^{x} } \\\\ & = x^{2} \cdot e^{x} - \Int[ x ]{ 2 \, x \cdot e^{x} }\\ & = x^2 e^x - 2 \Int{x e^x } =\renewcommand{\log}{\ln}\WaveBrack{f( x ) & = x & g'( x ) & = e^{x} \\ f'( x ) & = 1 & g( x ) & = e^{x} }\\ & = x^2 e^x - 2\cdot\Brack{x \cdot e^{x} - \Int[ x ]{ 1 \cdot e^{x} }=}\\ & = x^2 e^x - 2 \cdot \Paren{x e^x - e^x} + C= \Paren{x^2 - 2 x + 2} e^x + C \end{aligned}\end{split}\]Zaczynamy o dwukrotnego całkowania przez części:
\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} I = \Int{ e^{-x} \cos x }& =\renewcommand{\log}{\ln}\WaveBrack{f( x ) & = e^{\left(-x\right)} & g'( x ) & = \cos\left(x\right) \\ f'( x ) & = -e^{\left(-x\right)} & g( x ) & = \sin\left(x\right) } \\\\ & = e^{\left(-x\right)} \cdot \sin\left(x\right) - \Int[ x ]{ -e^{\left(-x\right)} \cdot \sin\left(x\right) }\\ & =\renewcommand{\log}{\ln}\WaveBrack{f( x ) & = e^{\left(-x\right)} & g'( x ) & = \sin\left(x\right) \\ f'( x ) & = -e^{\left(-x\right)} & g( x ) & = -\cos\left(x\right) }\\ &= e^{-x} \sin x +\Paren{e^{\left(-x\right)} \cdot \Paren{-\cos\left(x\right)} - \Int[ x ]{ -e^{\left(-x\right)} \cdot \Paren{-\cos\left(x\right)} }}\\ &= e^{-x}\Paren{\sin x - \cos x} - \Int{ e^{-x} \cos x }= e^{-x}\Paren{\sin x - \cos x} - I + 2C . \end{aligned}\end{split}\]W konsekwencji otrzymujemy:
\[\begin{split} 2I & = e^{-x}\Paren{\sin x - \cos x} + 2C \\ \Int{ e^{-x} \cos x } = I & = \tfrac 1 2 {e^{-x}} \Paren{\sin x - \cos x} + C . \end{split}\]
Twierdzenie 8.6 (o całkowaniu przez podstawienie \(t=h(x)\))
Niech \(X, T\) będą przedziałami oraz załóżmy, że:
funkcja \(h:X \to \rr\) jest różniczkowalna i \(h(X) = T\)
funkcja \(g:T \to \rr\) ma funkcję pierwotną \(G:T \to \rr\)
funkcja \(f:X \to \rr\) jest postaci \(f(x) = g\circ h(x) \cdot h'(x)\).
Wówczas, na \(X\),
Ćwiczenie 8.6
Policzmy całki nieoznaczone:
\(\displaystyle\Int{ \frac {x}{(x^2 + 1)^2} } \)
\(\displaystyle\Int{\frac {\sin x}{1 + 2\cos x}} \)
\(\displaystyle\Int{\frac {\sqrt{1+\ln x}} {x}} \)
\(\displaystyle \Int{\frac {\sin 2x} { 1 + \sin^4 x}} .\)
Rozwiązanie
Policzmy całki nieoznaczone:
Podstawiamy podstawę mianownika, widząc, że licznik jest proporcjonalny do jej pochodnej:
\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned}\Int{ \frac {x}{(x^2 + 1)^2} }& =\Int{ \frac {1}{(x^2 + 1)^2} \cdot x }\\ & =\renewcommand{\log}{\ln}\WaveBrack{t & = x^{2} + 1 \\dt & = 2 \, x \, d x\quad \Rightarrow \quad x dx = \tfrac 1 2 \ dt}\\ &= \Int[t]{ \frac {1}{t^2} \cdot \tfrac 1 2 }= \tfrac 1 2 \cdot \Int[t]{ t^{-2} }\\ & = \tfrac 1 2 \cdot \Paren{-t^{-1}} + C= - \frac {1}{2(x^2 + 1)} + C\end{aligned}\end{split}\]Podobnie tutaj:
\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned}\Int{\frac {\sin x}{1 + 2\cos x}}& = \Int{\frac {1}{1 + 2\cos x}\cdot \sin x }\\ & =\renewcommand{\log}{\ln}\WaveBrack{t & = 2 \, \cos\left(x\right) + 1 \\dt & = -2 \, \sin\left(x\right) \, d x\quad \Rightarrow \quad \sin x \ dx = - \tfrac 1 2 \ dt}\\ &= \Int[t]{ \frac 1 t \cdot(- \tfrac 1 2) }= -\tfrac 1 2 \ln |t| + C= -\tfrac 1 2 \ln |1+2 \cos x| + C\end{aligned}\end{split}\]Pochodna funkcji logarytmicznej jest proporcjonalna do jednego z czynników, więc:
\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned}\Int{\frac {\sqrt{1+\ln x}} {x}}& =\Int{ \sqrt{1+\ln x}\cdot \frac 1 {x}}=\renewcommand{\log}{\ln}\WaveBrack{t & = \log\left(x\right) + 1 \\dt & = \frac{1}{x} \, d x}\\ &= \Int[t]{\sqrt{t}}= \Int[t]{t^{\frac 1 2} }= \tfrac 2 3 t^{\frac 3 2} + C= \tfrac 2 3 (1 + \ln x)^{\frac 3 2} + C\end{aligned}\end{split}\]Na koniec coś trudniejszego:
\[\begin{split} \Int{\frac {\sin 2x} { 1 + \sin^4 x}} & = \Int{\frac {1} { 1 + \sin^4 x}\cdot 2\sin x \cos x} = \WaveBrack{ t & = \sin^2 x \\ dt & = 2\sin x \cos x \ dx } \\ & \Int[t]{\frac 1 {1+t^2} } = \arctg t + C = \arctg \Paren{\sin^2 x} + C . \end{split}\]
Twierdzenie 8.7 (o całkowaniu przez podstawienie \(x=\varphi(t)\))
Niech \(X, T\) będą przedziałami oraz załóżmy, że:
funkcja \(\varphi:T \to \rr\) jest różniczkowalna, różnowartościowa i \(\varphi(T) = X\)
funkcja \(f:X \to \rr\) ma funkcję pierwotną \(F:X \to \rr\).
Wówczas, na \(X\),
Ćwiczenie 8.7
Policzmy całki nieoznaczone:
\(\displaystyle \Int{ \arccos x } \)
\(\displaystyle \Int{ \sqrt{9 - x^2} } .\)
Rozwiązanie
Na początek pozbądźmy się funkcji cyklometrycznej:
\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} \Int{ \arccos x } & =\renewcommand{\log}{\ln}\WaveBrack{x & = \cos\left(t\right) & \arccos x = t \\dx & = -\sin\left(t\right) d t & t\in[0,\pi]}= \Int[t]{ t\cdot (-\sin t} ) \\ & =\renewcommand{\log}{\ln}\WaveBrack{f( t ) & = t & g'( t ) & = -\sin\left(t\right) \\ f'( t ) & = 1 & g( t ) & = \cos\left(t\right) } = t \cdot \cos\left(t\right) - \Int[ t ]{ 1 \cdot \cos\left(t\right) }\\ &= t \cos t - \sin t + C= \arccos x \cdot x - \sin \Paren{\arccos x} + C \end{aligned}\end{split}\]Standardowy trik z wykorzystaniem jedynki trygonometrycznej:
\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} \Int{ \sqrt{9 - x^2} } & =\renewcommand{\log}{\ln}\WaveBrack{x & = 3 \, \sin\left(t\right) & \arcsin \tfrac x 3 = t \\dx & = 3 \, \cos\left(t\right) d t & t\in\Brack{-\tfrac \pi 2, \tfrac \pi 2]}}= \Int[t]{\sqrt{9 - 9\sin^2 t}\cdot 3\cos t }\\ &= 9\cdot \Int[t]{|\cos t|\cdot \cos t }= 9\cdot \Int[t]{\cos^2 t }= 9\cdot \Int[t]{\tfrac 1 2 \Paren{1 + \cos 2t} }\\ &= \WaveBrack{u & = 2t \\du & = 2\ dt}= \frac 9 4 \cdot \Int[u]{1 + \cos u }= \frac 9 4 \Paren{u + \sin u} + C\\ &= \frac 9 4 \Paren{2t + \sin 2t} + C= \frac 9 4 \Paren{2t + 2\sin t \cos t} + C\\ &= \frac 9 4 \Paren{2t + 2\sin t \sqrt{1- \sin^2 t}} + C\\ & = \frac 9 2 \Paren{\arcsin \frac x 3 + \frac x 3 \sqrt{1 - \Paren{\frac x 3}^2}} + C. \end{aligned}\end{split}\]
Uwaga 8.4
Nie każdą całkę „można obliczyć”.
Mówiąc precyzyjniej, wyróżniamy funkcje elementarne : potęgowe, wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do nich, oraz ich sumy, różnice, iloczyny, ilorazy i złożenia.
Okazuje się, że nie każda całka z funkcji elementarnej wyraża się w postaci funkcji elementarnej.
Przykłady takich całek:
\(\displaystyle\Int{ \frac {\sin x} {x} }\ \)
\(\displaystyle\Int{ \frac {\cos x} {x} }\ \)
\(\displaystyle\Int{ \frac {e^{\pm x}} {x} }\ \)
\(\displaystyle\Int{ {e^{\pm \frac 1 x}} }\ \)
\(\displaystyle\Int{ {e^{\pm x^2}} }\ \)
\(\displaystyle\Int{ \frac {1} { \ln x }}\ \)
\(\displaystyle\Int{ \frac {1} { \sqrt{x^3 + 1}} }\ \)
\(\displaystyle\Int{ \sin x^2 }\ \)
\(\displaystyle\Int{ \cos x^2 }\ \)
oraz, dla \(\alpha\notin \nn\cup\Set{0}\),
\(\displaystyle\Int{x^\alpha e^{\pm x}} \ \)
\(\displaystyle\Int{x^\alpha\sin x} \ \)
\(\displaystyle\Int{x^\alpha\cos x} \ \)
a także całki eliptyczne 1. i 2. rodzaju (dla \(-1 < k < 1\)):
\(\displaystyle\Int{ \frac {1} { \sqrt{1 - k^2\sin^2 x}} }\ \)
\(\displaystyle\Int{ { \sqrt{1 - k^2\sin^2 x}} }\ \).
8.4. Całkowanie funkcji wymiernych#
8.4.1. Funkcje wymierne właściwe#
Narration
Przypomnijmy, że funkcją wymierną nazywamy funkcję zadaną przez \(x \mapsto\dfrac{f(x)}{g(x)},\) gdzie \(f,g\) są wielomianami i \(\deg g \geq 0\), określoną dla wszystkich \(x\in\rr\), takich że \(g(x)\neq 0\).
Właściwą nazywamy funkcję wymierną, jeśli stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy niż stopień wielomianu w mianowniku.
Stwierdzenie 8.8
Każda funkcja wymierna jest sumą wielomianu oraz funkcji wymiernej właściwej.
Co więcej dla każdej funkcji wymiernej \(f / g\) istnieją wielomiany \(r, q\) takie, że
Ćwiczenie 8.8
Znajdźmy rozkład funkcji \(\displaystyle\frac{4x^3 + 5x^2 + 2x - 2}{x^2 + 1}\).
Rozwiązanie
Wykonujemy dzielenie wielomianów:
Stąd wniosek, że \(\quad \displaystyle\frac{4x^3 + 5x^2 + 2x - 2}{x^2 + 1} = \frac{-2x-7}{x^2+1} + 4x + 5.\)
8.4.2. Rzeczywiste ułamki proste#
Twierdzenie 8.9
Każdy wielomian rzeczywisty dodatniego stopnia można rozłożyć na iloczyn wielomianów pierwszego stopnia, \((x- a)\), gdzie \(a\in\rr\), oraz nierozkładalnych wielomianów drugiego stopnia, \((x^2+px+q)\), gdzie \(p,q\in\rr\), przy czym \(\Delta=p^2-4q<0\).
Narration
Rzeczywistym ułamkiem prostym pierwszego rodzaju nazywamy rzeczywistą funkcję wymierną postaci
gdzie \(A,a\in\rr\) oraz \(n\in\nn\).
Rzeczywistym ułamkiem prostym drugiego rodzaju nazywamy rzeczywistą funkcję wymierną postaci
gdzie \(A,B,p,q\in\rr\) oraz \(n\in\nn\), przy czym \(\Delta=p^2-4q<0\).
8.4.3. Całkowanie ułamków prostych pierwszego rodzaju#
Narration
Funkcję wymierną \(\displaystyle\frac{A}{(x+a)^n}\) całkujemy przez podstawienie \(t = x+a\) (czyli \(dt = dx\)):
Ćwiczenie 8.9
Policzmy całki nieoznaczone:
\(\displaystyle\Int{ \frac {- 3} {2x-6} } \)
\(\displaystyle\Int{ \frac {e^\pi} {(3x-6)^5} } .\)
Rozwiązanie
Przy pomocy podstawienia doprowadzamy ułamek prosty do postaci kanonicznej:
\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} \Int{ \frac {- 3} {2x-6} }& =\renewcommand{\log}{\ln}\WaveBrack{t & = 2 \, x - 6 \\dt & = 2 \, d x\quad \Rightarrow \quad \tfrac 1 2 dt = dx}= -3\cdot \Int[t]{\frac 1 t \cdot \frac 1 2 }\\ &= -\tfrac 3 2 \cdot \Int[t]{t^{-1} }= -\tfrac 3 2 \ln|t| + C= -\tfrac 3 2 \ln|2x-6| + C \end{aligned}\end{split}\]Podobnie:
\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} \Int{ \frac {e^\pi} {(3x-6)^5} }& =\renewcommand{\log}{\ln}\WaveBrack{t & = 3 \, x - 6 \\dt & = 3 \, d x\quad \Rightarrow \quad \tfrac 1 3 dt = dx}= e^\pi\cdot \Int[t]{t^{-5} \cdot \frac 1 3 }\\ &= \frac {e^\pi} 3 \cdot \Int[t]{t^{-5} }= \frac {e^\pi} 3 \cdot \frac {t^{-4}} {-4} + C= - \frac {e^\pi} {12} \cdot \frac 1 {\Paren{3x-6}^4} + C. \end{aligned}\end{split}\]
8.4.4. Całkowanie ułamków prostych drugiego rodzaju#
Narration
Całkowanie ułamków prostych drugiego rodzaju jest dość skomplikowane, więc zaczynając od najprostszych przypadków, dojdziemy do metody ogólnej.
Zacznijmy od funkcji wymiernej \(\displaystyle\frac{1}{(x^2+1)^n}\).
Aby ją scałkować stosujemy wzór rekurencyjny.
Ćwiczenie 8.10
Pokażmy, że dla \(n\in \nn_2\) zachodzi
Rozwiązanie
Przypomnijmy, że całka nieoznaczona jest rozdziną funkcji różniących się o stałą addytywną, więc musimy pokazać prawa i lewa strona różnią się o stałą.
W tym celu zróżniczkujmy różnicę lewej i prawej strony tej tożsamości:
Ponieważ \(F\) jest różniczkowalna dla \(x\in \rr\), to wnioskujemy, że \(\Exists{C\in \rr}{F(x) = C}\) dla \(x\in \rr\).
To oznacza, że prawa i lewa strona różnią się o stałą addytywną.
Ćwiczenie 8.11
Policzmy całkę nieoznaczoną \(\displaystyle\Int{\frac {4}{(x^2 + 1)^3} } .\)
Rozwiązanie
Korzystając z powyższego wzoru otrzymujemy:
Narration
W dalszej kolejności weźmy funkcję wymierną \(\displaystyle\frac{1}{(x^2+ px + q)^n}\), dla której \(\Delta=p^2-4q<0\).
Zapiszmy dwumian kwadratowy z mianownika w postaci kanonicznej:
dla pewnych stałych \(\alpha, \beta, \gamma \in \rr.\)
Stąd skuteczne będzie podstawienie \(\displaystyle t = \beta x + \gamma,\) dla \(\displaystyle dt = \beta\ dx\) i~otrzymamy
Ostatnią całkę umiemy już policzyć!
Ćwiczenie 8.12
Policzmy całkę nieoznaczoną \(\displaystyle \begin{aligned} \displaystyle\Int{\frac {4}{(4 \, x^{2} - 16 \, x + 18)^2} } . \end{aligned}\)
Rozwiązanie
Na początku przekształćmy podstawę z mianownika:
To oznacza, że należy zastosować podstawienie \(t = \sqrt 2 x- 2\sqrt 2\):
Narration
Z funkcją wymierną \(\displaystyle\frac{2x + p}{(x^2+ px + q)^n}\) (dla której \(\Delta=p^2-4q\) może być dowolna!), poradzimy sobie bez problemu, całkując przez podstawienie \(t = x^2+ px + q\).
Istotnie, wynika z niego, że \(dt = (2x + p) \ dx\), więc
którą to całkę znów umiemy już policzyć.
Ćwiczenie 8.13
Policzmy całkę nieoznaczoną \(\displaystyle\Int{\frac {4x}{(x^2 + 3)^2} + \frac{2x+1} {x^2 + x +7} } . \)
Rozwiązanie
Policzmy oddzielnie całki każdego ze składników:
Stąd
Narration
Jesteśmy gotowi by scałkować dowolny ułamek prosty drugiego rodzaju \(\displaystyle \frac{Ax+B}{(x^2+px+q)^n},\) dla którego \(\Delta=p^2-4q<0\).
W tym celu wykorzystamy tożsamość
dla pewnych stałych \(\alpha, \beta \in \rr\).
Jak widać, z obiema całkami poradzimy sobie bez problemu.
Ćwiczenie 8.14
Policzmy całkę nieoznaczoną \(\displaystyle\Int{\frac {3x+2}{(x^2 + x +1)^2}} .\)
Rozwiązanie
Zaczynamy od rozkładu całki na dwa składniki:
Liczymy dwie całki:
Ostatecznie,
8.4.5. Rozkład funkcji wymiernych na ułamki proste#
Twierdzenie 8.10
Rzeczywista funkcja wymierna właściwa
jest sumą \(k_1+\ldots +k_m\) rzeczywistych ułamków prostych I rodzaju oraz \(l_1+\ldots +l_s\) rzeczywistych ułamków prostych II rodzaju, przy czym czynnikowi \((x-x_i)^{k_i}\) odpowiada suma \(k_i\) ułamków prostych I rodzaju postaci
a czynnikowi \((x^2+p_jx+q_j)^{l_j}\) odpowiada suma \(l_j\) ułamków prostych II rodzaju postaci
gdzie stałe \(A_\Box, B_\Box, C_\Box\) są liczbami rzeczywistymi.
Ćwiczenie 8.15
Znajdźmy rozkład na ułamki proste funkcji:
\(\displaystyle\frac{ x^2 + 2}{x^4 + x^2} \)
\(\displaystyle\frac {1+ x}{(x-1)^2(x^2 +1)} .\)
Rozwiązanie
Przedstawiamy funkcję wymierną jako sumę ułamków prostych:
\[\begin{split} \frac{ x^2 + 2}{x^4 + x^2} & = \frac A x + \frac B {x^2} + \frac{Cx + D}{x^2 + 1} & & \Big| \cdot x^2\Paren{x^2 + 1} \\ x^2 + 2 & = Ax \Paren{x^2 + 1} + B \Paren{x^2 +1} + \Paren{Cx + D} x^2. \end{split}\]Przyrównując czynnikimi przy jednomianach z obu stron otrzymujemy:
\[\begin{split} \Uklad{ A + C = 0 \\ B + D = 1 \\ A = 0 \\ B = 2 } \Leftrightarrow \quad \begin{cases} A = 0 \\ B = 2 \\ C = 0 \\ D = -1 \end{cases} \Quad{\imply} \frac{ x^2 + 2}{x^4 + x^2} = \frac 2 {x^2} + \frac{-1}{x^2 + 1} . \end{split}\]Pozostawiam jako ćwiczenie rozkład funkcji, którą będziemy chcieli całkować:
\[\begin{split} \frac {1+ x}{(x-1)^2(x^2 +1)} & = \frac A {x-1} + \frac B {\Paren{x-1}^2} + \frac {Cx + D}{x^2 + 1} \\ & = -\frac 1 {2(x-1)} + \frac 1 {\Paren{x-1}^2} + \frac {x - 1}{2\Paren{x^2 + 1}} . \end{split}\]
8.4.6. Całkowanie funkcji wymiernych#
Narration
Całkowanie funkcji wymiernej \(\frac f g\) można podzielić na trzy części:
Rozkładamy \(\frac f g\) na sumę wielomianu \(q\) i właściwej funkcji wymiernej \(\frac r g\).
Rozkładamy właściwą funkcję wymierną \(\frac r g\) na ułamki proste.
Całkujemy wielomian \(q\) i każdy z ułamków prostych.
Suma scałkowanych składników daje końcowy wynik.
Ćwiczenie 8.16
Policzmy całki nieoznaczone:
\(\displaystyle\Int{\frac{ x^4 + 2x^2 + 2}{x^4 + x^2}} \)
\(\displaystyle\Int{\frac {1+ x}{(x-1)^2(x^2 +1)}} . \)
Rozwiązanie
Przedstawiamy funkcję jako sumę wielomianu i funkcji wymiernej właściwej, którą rozkładamy na ułamki proste:
\[\begin{split} \Int{\frac{ x^4 + 2x^2 + 2}{x^4 + x^2}} & = \Int{\frac{ \Paren{x^4 + x^2} + x^2 + 2}{x^4 + x^2}} = \Int{1 + \frac{x^2 + 2}{x^4 + x^2}} \\ & = \Int{1} + \Int{\frac 2 {x^2}} - \Int{\frac{1}{x^2 + 1}} = x - \frac 2 x - \arctg x + C . \end{split}\]Rozkładamy całkę na trzy składniki odpowiadające ułamkom prostym:
\[ \Int{\frac {1+ x}{(x-1)^2(x^2 +1)}} = \Int{- \frac 1 {2(x-1)} + \frac 1 {\Paren{x-1}^2}} + \Int{\frac {x - 1}{2\Paren{x^2 + 1}}} . \]Liczymy:
\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} I_1 = \Int{-\frac 1 {2(x-1)} + \frac 1 {\Paren{x-1}^2}}& = \renewcommand{\log}{\ln}\WaveBrack{t & = x - 1 \\dt & = 1 \, d x}= \Int[t]{-\frac 1 {2t} + \frac 1 {t^2}}= -\tfrac 1 2 \ln|t| - \frac 1 t + C\\ &= -\tfrac 1 2 \ln|x-1| - \frac 1 {x-1} + C ,\\I_2 = \Int{\frac {x - 1}{2\Paren{x^2 + 1}}}& = \frac 1 4 \cdot \Int{\frac {2x - 2}{x^2 + 1}}= \frac 1 4 \cdot \Int{\frac {2x}{x^2 + 1}}- \frac 1 2 \cdot \Int{\frac {1}{x^2 + 1}}\\ &= \frac 1 4 \cdot \Int{\frac {2x}{x^2 + 1}}- \frac 1 2 \arctg x= \renewcommand{\log}{\ln}\WaveBrack{t & = x^{2} + 1 \\dt & = 2 \, x \, d x}\\ &= \frac 1 4 \cdot \Int[t]{\frac {1}{t}}- \tfrac 1 2 \arctg x= \tfrac 1 4 \ln |t|- \tfrac 1 2 \arctg x + C\\ &= \tfrac 1 4 \ln \Paren{x^2+1}- \tfrac 1 2 \arctg x + C . \end{aligned}\end{split}\]Po zsumowaniu otrzymamy
\[ \Int{\frac {1+ x}{(x-1)^2(x^2 +1)}} = I_1 + I_2 = -\tfrac 1 2 \ln|x-1| - \frac 1 {x-1} + \tfrac 1 4 \ln \Paren{x^2+1} - \tfrac 1 2 \arctg x + C . \]
8.5. Całkowanie funkcji trygonometrycznych#
Narration
Jeśli funkcja podcałkowa jest iloczynem dowolnej liczby funkcji \(\sin a x\), \(\cos b x\), to stosujemy wzory trygonometryczne:
Ćwiczenie 8.17
Policzmy całki nieoznaczone:
\(\displaystyle \Int{\sin a x} \) dla \(a\neq 0\)
\(\displaystyle \Int{\cos a x}\) dla \(a\neq 0\)
\(\displaystyle \Int{\sin 3x \cdot \cos 5x } \)
\(\displaystyle \Int{\cos^4 x } .\)
Rozwiązanie
Całka, którą warto zapamiętać:
\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} \Int{\sin a x}& = \renewcommand{\log}{\ln}\WaveBrack{t & = a x \\dt & = a \, d x}= \Int[t]{\sin t \cdot \frac 1 a}= -\frac 1 a \cos t + C= -\frac 1 a \cos a x + C \end{aligned}\end{split}\]Analogicznie:
\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} \Int{\cos a x}& = \renewcommand{\log}{\ln}\WaveBrack{t & = a x \\dt & = a \, d x}= \Int[t]{\cos t \cdot \frac 1 a}= \frac 1 a \sin t + C= \frac 1 a \sin a x + C \end{aligned}\end{split}\]Prosty przykład:
\[\begin{split} \Int{\sin 3x \cdot \cos 5x } & = \Int{\frac 1 2 \Paren{\sin \Paren{-2x} + \sin 8x }} \\ & = \frac 1 2 \Paren{\frac 1 2 \cos 2x - \frac 1 8 \cos 8x } + C \\ & = {\tfrac 1 4 \cos 2x - \tfrac 1 {16} \cos 8x } + C\end{split}\]Niekiedy trzeba metodę zastosować kilkukrotnie:
\[\begin{split} \Int{\cos^4 x } & = \Int{\Paren{\frac{1+\cos 2x} 2}^2} = \frac 1 4 \cdot \Int{1+2\cos 2x + \cos^2 2x} \\ & = \frac 1 4 x + \frac 1 4\sin 2x + \frac 1 4 \cdot \Int{\frac 1 2 \Paren{1 + \cos 4x} } \\ & = \frac 1 4 x + \frac 1 4\sin 2x + \frac 1 8 \Paren{x + \frac 1 4 \sin 4x} + C \\ & = \tfrac 3 8 x + \tfrac 1 4\sin 2x + \tfrac 1 {32} \sin 4x + C . \end{split}\]
Narration
Jeśli funkcja podcałkowa jest postaci \(R(\sin x, \cos x)\), gdzie \(R\) jest funkcją wymierną, to można zastosować podstawienie uniwersalne \(t = \tg \frac x 2\), by otrzymać całkę z funkcji wymiernej:
Ćwiczenie 8.18
Policzmy całkę nieoznaczoną \(\displaystyle\Int{\frac {1} {\cos x}} .\)
Rozwiązanie
Stosujemy podstawienie uniwersalne:
Narration
Jeśli funkcja podcałkowa jest postaci \(R(\tg x)\), gdzie \(R\) jest funkcją wymierną, to można również zastosować podstawienie \(t = \tg x\), by otrzymać całkę z funkcji wymiernej:
Ćwiczenie 8.19
Policzmy całkę nieoznaczoną \(\displaystyle\Int{\tg^4 x} . \)
Informacja
Pomoże rozwiązać Ćw. 9.18.
Rozwiązanie