5. Ciągłość funkcji#
5.1. Ciągłość funkcji w punkcie#
Narration
Niech \(f:X \to \rr\) i \(x_0 \in X\).
Definicja 5.1
Funkcję \(f\) nazywamy ciągłą w punkcie \(x_0\), w sensie Cauchy’ego, jeśli
Funkcję \(f\) nazywamy ciągłą w punkcie \(x_0\), w sensie Heinego, jeśli dla każdego ciągu \((a_n)\) o wyrazach ze zbioru \(X\)
Uwaga 5.1
Obie definicje ciągłości funkcji w punkcie są równoważne.
W definicji nie zakładamy, że \(x_0\) jest punktem skupienia \(X\)!
W definicji Heienego nie zakładamy, że \(a_n \neq x_0\).
Jeśli \(x_0\) jest punktem izolowanym \(X\), to funkcja jest ciągła w \(x_0\)!
Jeśli \(x_0\) jest punktem skupienia \(X\), to funkcja jest ciągła w \(x_0\) \(\qlq\) \(\LimIn{x_0} f(x) = f(x_0).\)
Jeśli \(x_0 \notin X\), to \(f\) nie jest ciągła w \(x_0\), nawet jeśli ma tam w \(x_0\) granicę.
Definicja 5.2
Funkcję \(f:X\to\rr\) nazywamy
ciągłą na zbiorze \(A \subseteq X\) , jeśli jest ciągła w każdym punkcie zbioru \(A\).
ciągłą , jeśli jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny.
Przykład 5.1
Funkcja \(f(x) = c\) jest ciągła, bo \(\LimInfty a_n = x_0 \imply \LimInfty f(a_n) = c = f(x_0)\).
Funkcja \(f(x) = x\) jest ciągła.
Jeśli \(\LimInfty a_n = x_0\), to \(f(a_n) = a_n \LimToInfty x_0 = f(x_0)\).
Funkcja \(f(x) = \sin x\) jest ciągła.
Zgodnie z definicją Cauchy’ego, dla ustalonego \(\epsilon > 0\) musimy znaleźć \(\delta_\epsilon > 0\) dające zadość warunkowi
\[|x - x_0| < \delta_\epsilon \imply |\sin x - \sin x_0| < \epsilon.\]Zauważmy, że
\[\begin{split} \left|\sin x - \sin x_0\right| & = \left|2\sin\frac {x-x_0} 2 \cos\frac {x+x_0} 2 \right| \\ & \leq 2\left|\sin\frac {x-x_0} 2 \right| \\ & \leq 2\left|\frac{x- x_0} 2\right| = |x- x_0|. \end{split}\]Zatem wystarczy wziąć \(\delta_\epsilon = \epsilon\).
Twierdzenie 5.1 (o lokalnym zachowaniu znaku funkcji ciągłej)
Jeśli funkcja \(f: X \to \rr\) jest ciągła w punkcie \(x_0\) i \(f(x_0) \neq 0\), to istnieje otoczenie \(x_0\), na którym funkcja ma ten sam znak co \(f(x_0)\).
Twierdzenie 5.2 (o działaniach arytmetycznych na funkcjach ciągłych)
Niech \(f,g:X \to \rr\) będą funkcjami ciągłymi w punkcie \(x_0\in X\).
Wówczas \(c\cdot f(x),\ f(x) \pm g(x), \ f(x) \cdot g(x) \) są ciągłe w \(x_0\) \(\frac{f(x)} {g(x)}\) jest ciągła w \(x_0\), jeśli tylko \(g(x_0)\neq 0.\)
Przykład 5.2
Z ciągłości funkcji stałej i \(\id_\rr\), oraz powyższego twierdzenia wnioskujemy ciągłość wielomianów i funkcji wymiernych.
Ciągłość funkcji wykładniczej \(f(x) = a^x\) dla \(a>0\).
Wiemy, że \(\LimInfty \sqrt[n] a = \LimInfty a^{\frac 1 n} = 1\), co można uogólnić do \(\LimIn{0} a^x = 1\).
Zatem \(\LimIn{0} f(x) = f(0),\) co daje ciągłość w \(x_0 = 0.\)
Dalej,
\[\begin{split} \LimIn{x_0} f(x) & = \LimIn{x_0} {a^x} = \LimIn{x_0} a^{x_0}\cdot a^{x-x_0} \\ & = a^{x_0}\cdot \LimIn{x_0} a^{x-x_0} = \WaveBrack{ y &= x - x_0 \\ y & \LimTo{x_0} {0} } \\ & = a^{x_0}\cdot \LimIn[y]{0} a^{y} = a^{x_0} = f(x_0), \end{split}\]co daje ciągłość w \(x_0\in \rr.\)
Z ciągłości funkcji wykładniczej i na mocy powyższego twierdzenia, ciągłe są funkcje hiperboliczne \(\sinh\) i \(\cosh\) jako sumy funkcji wykładniczych \(e^x\) oraz \(e^{-x} = \left(\frac 1 e\right)^x\) pomnożonych przez stałe:
\[\begin{aligned} \sinh(x) & = \frac 1 2 {e^x} - \frac 1 2 e^{-x}, & \cosh(x) & = \frac 1 2 {e^x} + \frac 1 2 e^{-x}. \end{aligned}\]Ponadto funkcje hiperboliczne \(\tgh\) i \(\ctgh\) są ciągłe jako ilorazy powyższych funkcji.
Funkcja \(f(x) = {x \cdot \sin \frac 1 x}\) jest ciągła w dziedzinie \(D_f= \rr\setminus\Set{0}\).
Zatem jest ciągła.
Zauważmy, że \(\LimIn{0} x\cdot \sin \tfrac 1 x = 0\).
Istotnie, \(f\) jest iloczynem funkcji \(x\mapsto x\), której granica w \(0\) jest równa \(0\), oraz funkcji \(x \mapsto \sin \frac 1 x\), której wartości są ograniczone do przedziału \([-1, 1]\).
Niemniej jednak, \(f\) nie jest ciągła w punkcie \(0\), gdyż \(0\notin D_f\)!
Twierdzenie 5.3 (o ciągłości funkcji złożonej)
Jeśli funkcja \(h:X\to Y\) jest ciągła w punkcie \(x_0\) i funkcja \(g:Y\to \rr\) jest ciągła w punkcie \(h(x_0)\), to funkcja \(g\circ h\) jest ciągła w punkcie \(x_0.\)
Przykład 5.3
Funkcja \(f(x) = \cos(x)\) jest ciągła jako złożenie funkcji ciągłych \(\sin x\) oraz \(x+ \frac\pi 2\):
Funkcje tangens i cotangens są ciągłe jako ilorazy funkcji ciągłych:
Twierdzenie 5.4 (o ciągłości funkcji odwrotnej)
Jeśli \(I\subseteq \rr\) jest przedziałem i funkcja \(f: I\to \rr\) jest ciągła i rosnąca (malejąca), to przeciwdziedzina \(R_f = \Set{f(x) : x\in I}\) jest przedziałem oraz funkcja odwrotna \(f^{-1}:R_f \to I\) jest ciągła i rosnąca (odp. malejąca).
Przykład 5.4
Na mocy wcześniejszych rozważań i powyższego twierdzenia, ciągłe są funkcje logarytmiczne i cyklometryczne.
Dla dowolnego \(\alpha\in \rr\), funkcja potęgowa \(f(x) = x^\alpha = \Paren{e^{\ln x}}^\alpha = e^{\alpha \ln x}\) jest zatem ciągła jako złożenie funkcji ciągłych \(e^x\) i \(\alpha\ln x\).
Twierdzenie 5.5 (o wprowadzeniu granicy do argumentu funkcji ciągłej)
Dla \(x_0 \in \rr\cup\Set{\pm\infty}\), jeśli istnieje granica właściwa \(\LimIn{x_0} f(x) = u_0 \in X\) i funkcja \(h: X\to \rr\) jest ciągła w punkcie \(u_0\), to
Ćwiczenie 5.1
Policzmy granice:
\(\LimIn{0} \cos\left(\frac {\sin \pi x} x \right) \)
\(\LimIn{0} \frac {\log_a (1+ x)} x \)
\(\LimIn{x_0} f(x)^{g(x)}\), jeśli wiadomo, że \(f>0\) oraz \( \LimIn{x_0} f(x) = a, \LimIn{x_0} g(x) = b.\)
Rozwiązanie
Ponieważ funkcja \(\cos x\) jest ciągła (w każdym punkcie), to
\[ \LimIn{0} \cos\left(\frac {\sin \pi x} x \right) = \cos \Paren{\LimIn{0} \frac {\sin \pi x} x } = \cos \Paren{\LimIn{0} \pi \cdot \frac {\sin \pi x} {\pi x} } = \cos \pi = -1. \]Zauważmy, że \(\dfrac {\log_a (1+ x)} x = \log_a (1+x)^{\frac 1 x} .\)
Ponieważ funkcja \(\log_a x\) jest ciągła w swojej dziedzinie, to
\[ \LimIn{0} \frac {\log_a (1+ x)} x = \log_a \Paren{\LimIn{0} (1+ x)^{\frac 1 x}} =\log_a e . \]Zauważmy, że \(a = e^{\ln a}\) dla \(a>0\), więc
\[\begin{split} \LimIn{x_0} f(x)^{g(x)} & = \LimIn{x_0} e^{\ln f(x)^{g(x)}} = \LimIn{x_0} \exp\Paren{g(x)\ln f(x)} = \exp\Paren{\LimIn{x_0} g(x)\ln f(x)} \\ & = \exp\Paren{\LimIn{x_0} g(x) \cdot \ln\Paren{ \LimIn{x_0} f(x) }} = e^{b \ln a} = e^{\ln a^b} = a^b. \end{split}\]
5.2. Punkty nieciągłości funkcji#
Definicja 5.3
Punktem nieciągłości funkcji \(f:X \to \rr\) nazywamy \(x_0 \in X\), w którym nie jest ona ciągła.
Izolowanym punktem nieciągłości nazywamy punkt nieciągłości \(x_0\in X\) funkcji \(f:X\to \rr\), jeśli istnieje sąsiedztwo \(x_0\), w którym \(f\) jest ciągła.
Definicja 5.4
Izolowany punkt nieciągłości jest I-go rodzaju , jeśli w tym punkcie istnieją granice jednostronne właściwe.
W przeciwnym przypadku jest on II-go rodzaju .
Przykład 5.5
Rozważmy funkcję
Jest ona nieciągła w punktach \(x=\tfrac 1 n\) dla \(n \in \nn\), gdyż
oraz w punkcie \(x=0\), gdyż dla ciągów \(-\frac 1 n \LimToInfty 0\), \(\frac 1 n \LimToInfty 0\) mamy:
Punkt \(0\) nie jest izolowany, gdyż w każdym sąsiedztwie tego punkt \(S(0,\delta)\) są punkty \(\tfrac 1 n < \delta\), w których \(f\) jest również nieciągła.
Izolowane punkty nieciągłości ze zbioru \(\Set{ \frac 1 n : n\in \nn}\) są I-go rodzaju.
Ćwiczenie 5.2
GEOGEBRA Dla każdego parametru \(a\in \rr\) zbadajmy ciągłość w każdym punkcie dla funkcji
Rozwiązanie
Dziedzina funkcji to \(D_f = \rr\).
Dla \(x<0\), \(f(x) = (a + \cos x)^2 = a^2 + 2a\cos x + \cos^2 x\), więc \(f\) jest ciągła w każdym punkcie jako suma funkcji ciągłych:
stałej \(a^2\)
iloczynu stałej \(2a\) i trygonometrycznej \(\cos x\)
\(\cos^2 x = \cos x \cdot \cos x\), która jest iloczynem funkcji trygonometrycznych \(\cos x\).
Dla \(x > 0\):
\(\sin x^2\) jest złożeniem funkcji ciągłych \(\sin x\) i \(x^2\), więc jest ciągła;
\(f\) jest ilorazem funkcji ciągłych \(\sin x^2\) i wielomianu \(x^2 + x^3\), więc jest ciągła w każdym punkcie.
Dla \(x=0\): \(f\) jest ciągła w \(0\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\Quad{\LimIn{0} f(x) = f(0).}\) Obliczmy:
\[\begin{split} \LimIn{0^-} f(x) & =\LimIn{0^-} (a + \cos x)^2 = (a+1)^2, & f(0) & = \ln e = 1, \\ \LimIn{0^+} f(x) & = \LimIn{0^+} \frac {\sin x^2} {x^2 + x^3} = \LimIn{0^+} \frac {\sin x^2} {x^2} \cdot \frac 1 {1+x} = 1. \end{split}\]Układ równań \(\Quad{\LimIn{0^-} f(x) = \LimIn{0^+} f(x) = f(0)} \) jest spełniony dla \(a \in \Set{ -2, 0}\) i dla takich parametrów funkcja jest ciągła w punkcie \(0\).
Ponieważ granice jednostronne właściwe istnieją, to dla \(a \in \rr \setminus\Set{-2,0}\) w punkcie \(0\) występuje nieciągłość I-go rodzaju.
5.3. Własności funkcji ciągłych#
Twierdzenie 5.6 (Darboux, o przyjmowaniu wartości pośrednich)
Jeśli funkcja \(f:[a,b]\to \rr\) jest ciągła, \(f(a) \neq f(b)\) oraz liczba \(y_0\) jest zawarta między \(f(a)\) i \(f(b)\), to istnieje \(x_0\in (a,b)\) taki, że \(y_0 = f(x_0).\)
Uwaga 5.2
Interpretacja geometryczna: każda prosta \(y=y_0\), dla \(y_0\) między \(f(a)\) i \(f(b)\), przecina wykres funkcji w co najmniej jednym punkcie.
Twierdzenie zachodzi jedynie dla przedziału domkniętego.
Jeśli rozpatrzymy ciągłą funkcję
\[ f(x) = x^2 \quad\text{na zbiorze } X = \qq\cap[-1,2], \]to \(f(-1) = 1\) i \(f(2) = 4\), ale nie istnieje \(x_0\in X\) taki, że \(f(x_0) = 2 \in (1,2)\), gdyż rozwiązanie równania \(x^2 = 2\) nie jest liczbą wymierną!
Ćwiczenie 5.3
Pokażmy, że równanie \(x^3 + x - \frac 1 2 = 0\) ma pierwiastek w przedziale \(\Paren{0,\frac 1 2}.\)
Rozwiązanie
Funkcja \(f(x) = x^3 + x -\frac 1 2\) jest jako wielomian ciągła na przedziale \(\Brack{0,\ \frac 1 2}\).
Na krańcach tego przedziału przyjmuje wartości
Przyjmując w twierdzeniu Darboux \(a = 0, b = \frac 1 2, y_0 = 0 \in \Paren{-\frac 1 2,\ \frac 1 8}\), wnioskujemy, że istnieje \(x_0 \in \Paren{0,\ \frac 1 2}\) taki, że \(f(x_0) = 0\), czyli \(x_0\) jest pierwiastkiem równania.
Ćwiczenie 5.4
Pokażmy, że równanie \(\sin x = x -1 \) ma rozwiązanie.
Rozwiązanie
Funkcja \(f(x) = \sin x - x + 1\) jest ciągła jako suma funkcji \(\sin x\) i wielomianu \(-x-1.\)
Pa podstawie rysunku poglądowego spodziewamy się, że rozwiązanie będzie w okolicach \(2\), więc dla łatwości rachunków przyjmijmy w twierdzeniu Darboux:
Wnioskujemy, że istnieje \(x_0 \in \Paren{0,\ \pi}\) taki, że \(f(x_0) = 0 \in \Paren{1-\pi,\ 1}\), czyli \(x_0\) jest rozwiązaniem równania.
Ćwiczenie 5.5
Pokażmy, że \(f(x) = \frac 1 4 {x^3} - \sin \pi x \) przyjmuje wartość \(-\frac 1 3\) dla \(x\in(-2,2)\).
Rozwiązanie
Funkcja \(f(x) = \frac 1 4 {x^3} - \sin \pi x\) jest ciągła jako suma wielomianu \(\frac 1 4 x^3\) i złożenia funkcji \(\sin x\) z wielomiane \(\pi x\).
Przyjmijmy w twierdzeniu Darboux:
Ponieważ \(-\frac 1 3 \in \Paren{-2,\ 2}\), to wnioskujemy, że istnieje \(x_0 \in \Paren{-2,\ 2}\) taki, że \(f(x_0) = - \frac 1 3\).
Twierdzenie 5.7 (Weierstrassa, o przyjmowaniu wartości ekstremalnych)
Jeśli funkcja \(f:[a,b]\to \rr\) jest ciągła, to jest ograniczona i istnieją \(x_{min}, x_{max} \in [a,b]\) takie, że
Wniosek 5.8
Przy założeniach i oznaczeniach twierdzenia Weierstrassa
Uwaga 5.3
Funkcja ciągła na przedziale otwartym może być nieograniczona, więc wartości ekstremalne mogą nie istnieć.
Na przykład
\[f(x) = \frac 1 x,\quad \text{dla } x \in (0,1)\]nie jest ograniczona z góry.
Ograniczona funkcja ciągła na przedziale otwartym nie musi przyjmować wartości ekstremalnych.
Na przykład:
\[f(x) = x, \quad \text{dla } x\in (0,1).\]Funkcja nieciągła na przedziale domkniętym nie musi przyjmować wartości ekstremalnych.
Na przykład
\[\begin{split} f(x) = \begin{cases} x & \text{dla } x \in (0,1) \\ \frac 1 2 & \text{dla } x \in \Set{0,1} \end{cases} \end{split}\]jest ciągła poza punktami \(0\) i \(1\), gdyż
\[\begin{aligned} \LimIn{0^+} f(x) & = 0 \neq \tfrac 1 2 = f(0), & \LimIn{1^-} f(x) & = 1 \neq \tfrac 1 2 = f(1). \end{aligned}\]Ponadto \(R_f = (0,1)\), więc wartości ekstremalne nie są przyjmowane.