13. Szeregi liczbowe#
13.1. Suma częściowa ciągu#
Narration
Niech \((a_n)_{n\in \nn}\) będzie ciągiem liczb rzeczywistych.
Definicja 13.1
Dla \(k\in\nn\),
nazywamy \(k\)-tą sumą częściową ciągu \((a_k).\)
Uwaga 13.1
Sumę częściową ciągu \((a_n)\) można zadać również rekurencyjnie:
Przykład 13.1
Dla ciągu arytmetycznego o wyrazach \(a_n = a + (n-1)\cdot r\), mamy
\[ S_k = a + (a + r) + (a + 2\cdot r) + \ldots + (a + (k-1)\cdot r) = k\cdot a + \frac {k(k-1)}{2}\cdot r. \]Dla ciągu geometrycznego o wyrazach \(a_n = a\cdot q^{n-1}\), mamy
\[\begin{split} S_k = a + a\cdot q + a\cdot q^2 + \ldots + a\cdot q^{k-1} = \begin{cases} \displaystyle a\cdot \frac {1 - q^k} {1-q} & \text{dla } q\neq 1 \\ a\cdot k & \text{dla } q = 1 \end{cases} . \end{split}\]
Ćwiczenie 13.1
Policzmy sumy częściowe ciągu o wyrazach \(a_n = \cos(n\pi) = (-1)^{n}.\)
Rozwiązanie
Ćwiczenie 13.2
Policzmy sumy częściowe ciągu o wyrazach \(\displaystyle a_n = \frac 1 {n(n+1)}.\)
Informacja
Pomoże rozwiązać Ćw. 14.6.
Rozwiązanie
Policzmy kilka początkowych wyrazów:
Okazuje się, że to nie przypadek, bo:
i stąd
13.2. Definicja szeregu liczbowego#
Narration
Niech \((a_n)_{n\in \nn}\) będzie ciągiem liczb rzeczywistych.
Definicja 13.2
Ciąg sum częściowych \((S_k)\) ciągu \((a_n)\) nazywamy szeregiem liczbowym o wyrazie ogólnym \(a_n\) i oznaczamy symbolem
Szereg liczbowy \(\sum_{n = 1}^\infty a_n\) nazywamy zbieżnym jeśli istnieje granica właściwa
którą nazywamy sumą szeregu.
W przeciwnym przypadku szereg nazywamy rozbieżnym .
Uwaga 13.2
Należy podkreślić, że symbol \(\sum_{n = 1}^\infty a_n\) ma dwa, podane wyżej, znaczenia.
Z~jednej strony jest to ciąg sum częściowych, a z drugiej – granica tego ciągu!
Odpowiednia interpretacja wynika z kontekstu w jakim używamy tego oznaczenia.
Przykład 13.2
Szereg arytmetyczny o wyrazie ogólnym \(a_n = a + (n-1)\cdot r\) jest zbieżny \(\Leftrightarrow a = r = 0.\)
Istotnie, tylko wtedy istnieje granica właściwa
\[ \LimInfty[k]{S_k} = \LimInfty[k] {k\cdot a + \frac {k(k-1)}{2}\cdot r} = 0. \]Szereg geometryczny o wyrazie ogólnym \(a_n = a\cdot q^{n-1}\) jest zbieżny \(\Leftrightarrow a = 0 \vee |q|< 1.\)
Istotnie, tylko wtedy istnieje granica właściwa
\[ \displaystyle\LimInfty[k]{S_k} = \LimInfty[k]{a\cdot \frac {1 - q^k} {1-q}} = \frac a {1-q}. \]
Ćwiczenie 13.3
Zbadajmy zbieżność szeregów:
\(\displaystyle\Series (-1)^{n} \)
\(\displaystyle\Series \frac 1 {n(n+1)} \)
\(\displaystyle\Series \frac 1 {n^2} .\)
Rozwiązanie
Ponieważ \( S_k = \begin{cases} -1 & \text{dla } k \text{ nieparzystych} \\ 0 & \text{dla } k \text{ parzystych} \end{cases} , \) to \(\LimInfty[k] S_k\) nie istnieje i szereg jest rozbieżny.
Ponieważ \(S_k = 1 - \dfrac 1 {k+1}\), to \(\LimInfty[k] S_k = 1.\)
Zatem szereg jest zbieżny:
\[ \Series \frac 1 {n(n+1)} = 1. \]Pokażemy, że szereg jest zbieżny nie wskazując jaka jest jego suma, dowodząc, że ciąg \((S_k)\) jest rosnący i ograniczony.
Istotnie,
\[ S_{k+1} - S_k = a_{k+1} = \frac 1 {(k+1)^2} > 0 \qlq S_{k+1} > S_k , \]więc ciąg \((S_k)\) jest rosnący.
Pokażemy indukcyjnie, że
\[ \Forall{k \in \nn}{S_k \leq 2 - \tfrac 1 k } \]co implikuje, że \((S_k)\) jest ograniczony z góry przez \(2.\)
Dla \(n = 1\), \( \quad S_1 = 1 \leq 2 - \frac 1 1 = 1\), \(\quad\) więc pierwszy krok jest prawdziwy.
Zakładając, że \( \quad S_k \leq 2 - \frac 1 k\) \(\quad\) widzimy, że
\[ S_{k+1} = S_{k} + \frac 1 {(k+1)^2} \leq 2 - \frac 1 {k} + \frac 1 {(k+1)^2} = A, \]więc wystarczy pokazać, że
\[ A = 2 - \frac 1 {k} + \frac 1 {(k+1)^2} \leq 2 - \frac 1 {k+1} \]co jest równoważne:
\[\begin{split} \begin{aligned} \frac 1 {k+1} - \frac 1 {k} + \frac 1 {(k+1)^2} \leq 0 & \qlq \frac { k(k+1) - (k+1)^2 + k} {k(k+1)^2} \leq 0 \\ & \qlq \frac {-1} {k(k+1)^2} \leq 0 . \end{aligned} \end{split}\]
13.3. Działania na szeregach#
Definicja 13.3
Szereg \(\displaystyle \Series (a_n + b_n)\) nazywamy sumą szeregów \(\displaystyle \Series a_n\) i \(\displaystyle \Series b_n.\)
Dla ustalonego \(c\in\rr\) przyjmujemy \( \quad \displaystyle c\cdot \Series a_n = \Series c\cdot a_n.\)
Stwierdzenie 13.1
Niech \(c\in \rr\) oraz \(\displaystyle \Series a_n = A \in \rr\) i \(\displaystyle \Series b_n = B \in \rr.\)
Wówczas:
\(\displaystyle \Series c\cdot a_n = c\cdot A\ \),
\(\displaystyle \Series (a_n + b_n) = A+B\ \).
Przykład 13.3
Ze zbieżności sumy szeregów \(\displaystyle \Series (a_n + b_n)\) nie wynika zbieżność szeregów \(\displaystyle \Series a_n\) lub \(\displaystyle \Series b_n.\)
Dla przykładu,
jest szeregiem zbieżnym (do \(0\)), ale szeregi \(\displaystyle \Series 1\) i \(\displaystyle \Series (-1)\) są rozbieżne.
13.4. Reszta szeregu#
Narration
Niech \(N\in\nn.\)
Wówczas dla \(k > N\), sumę częściową \(S_k\) możemy podzielić na dwie części:
Definicja 13.4
Drugi składnik jest sumą częściową ciągu \((b_n) = (a_{N+n})_{n\in\nn} = (a_{N+1}, a_{N+2}, \ldots)\) i definiuje szereg oznaczany symbolem
nazywany \(N\)-tą resztą szeregu \(\displaystyle \Series a_n.\)
Narration
Zatem dla \(n\in\nn\) mamy
Stwierdzenie 13.2
Dla \(N\in\nn\), szeregi \(\displaystyle\Series a_n\) oraz \(\displaystyle\sum_{n = N+1}^\infty a_n\) są jednocześnie zbieżne lub rozbieżne.
Stwierdzenie 13.3
Jeśli szereg \(\displaystyle \Series a_n\) jest zbieżny, to \(\LimInfty[N] R_{N} = 0.\)
Przykład 13.4
Skoro szereg \(\displaystyle \Series \frac 1 {n^2}\) jest zbieżny, to dla dowolnego \(N\in \nn\) zbieżny jest również szereg \(\displaystyle \sum_{n = N}^\infty \frac 1 {n^2}.\)
13.5. Warunek konieczny zbieżności szeregu#
Twierdzenie 13.4 (WK)
Jeśli szereg \(\displaystyle \Series a_n\) jest zbieżny, to \(\LimInfty a_{n} = 0.\)
Przykład 13.5
Podany w twierdzeniu warunek nie jest dostateczny.
Dla wyrazu ogólnego \(a_n = \frac 1 n\) mamy \(\LimInfty a_n = 0\), a jednak szereg harmoniczny \(\displaystyle \Series \frac 1 n\) jest rozbieżny.
Istotnie, dla \(k > 2N\) mamy
Ponieważ lewa strona tej nierówności jest \(k\)-tym wyrazem ciągu sum częściowych definiującym szereg \(R_N\), to wnioskujemy, że dla \(N\in\nn\) zachodzi
To implikuje, że \(\LimInfty[N] R_N \neq 0.\)
Ćwiczenie 13.4
Pokażmy, że rozbieżne są szeregi:
\(\displaystyle \Series \cos \frac 1 n \)
\(\displaystyle \Series \frac {e^n \cdot n!}{n^n} .\)
Rozwiązanie
Ponieważ \( \quad \LimInfty \cos \frac 1 n = \cos 0 = 1 \neq 0\), \(\quad\) to WK nie jest spełniony i szereg jest rozbieżny.
Zauważmy, że \(a_n = \dfrac {e^n \cdot n!}{n^n} > 0\) oraz \((a_n)\) jest rosnący, gdyż
\[\begin{split} \frac {a_{n+1}} {a_n} & = \frac {e^{n+1} \cdot (n+1)!}{\Paren{n+1}^{n+1}} \cdot \frac {n^n} {e^n \cdot n!} = \frac {e\cdot \Paren{n+1}\cdot n^n} {\Paren{n+1}^{n+1}} \\ & = \frac {e\cdot n^n} {\Paren{n+1}^{n}} = \frac {e} {\Paren{\frac {n+1} n}^{n}} = \frac {e} {\Paren{1 + \frac {1} n}^{n}} > 1 , \end{split}\]gdzie ostatnia nierówność wynika z tego, że ciąg \(\Paren{1 + \frac 1 n}^n\) rośnie do liczby \(e.\)
Ponieważ \(\Forall{n\in \nn}{a_n \leq a_1 = e}\), to granica \((a_n)\), jeśli istnieje, jest większa niż \(e\), zatem
\[\LimInfty a_n \neq 0.\]Warunek konieczny zbieżności szeregów nie jest spełniony.
13.6. Kryteria zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych#
Uwaga 13.3
Jeśli \(\forall n\in \nn \ a_n \geq 0\), czyli szereg \(\displaystyle \Series a_n\) jest o wyrazach nieujemnych, to dla \(k\in \nn\) zachodzi
więc ciąg \((S_k)\) jest niemalejący.
W szczególności jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony z góry.
Stwierdzenie 13.5
Szereg \(\displaystyle \Series a_n\) o wyrazach nieujemnych jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg \((S_k)\) jest ograniczony z góry.
Ćwiczenie 13.5
Zbadajmy zbieżność szeregu \(\displaystyle \Series \frac 1 {2^n}\cos^2 n.\)
Rozwiązanie
Zauważmy, że \(a_n = \dfrac 1 {2^n}\cos^2 n \geq 0\) oraz
Zatem ciąg \((a_n)\) jest ograniczony z góry przez \(1\), co implikuje, że szereg \(\displaystyle \Series a_n\) jest zbieżny.
Twierdzenie 13.6 (Kryterium porównawcze)
Niech \(\Forall{n\in \nn}{ a_n \geq 0,\ b_n \geq 0 } .\)
Jeśli
wówczas:
\(\displaystyle \Series b_n\) jest zbieżny \(\quad\imply\quad\) \(\displaystyle \Series a_n\) jest zbieżny;
\(\displaystyle \Series a_n\) jest rozbieżny \(\quad\imply\quad\) \(\displaystyle \Series b_n\) jest rozbieżny.
Przykład 13.6
Zbadajmy uogólniony szereg harmoniczny rzędu \(\alpha\), czyli
Dla \(\alpha \leq 1\), mamy
\[ \forall n \in \nn \quad n \geq {n^\alpha} \quad \imply \quad \forall n \in \nn \quad 0 \leq \frac 1 n \leq \frac 1 {n^\alpha}. \]Ponieważ szereg harmoniczny \(\displaystyle\Series \frac 1 n\) jest rozbieżny, to z kryterium porównawczego szereg \(\displaystyle\Series \frac 1 {n^\alpha}\) jest również rozbieżny.
Dla \(\alpha \geq 2 \), mamy
\[ \forall n \in \nn \quad n^\alpha \geq {n^2} \quad \imply \quad \forall n \in \nn \quad 0 \leq \frac 1 {n^\alpha} \leq \frac 1 {n^2}. \]Ponieważ uogólniony szereg harmoniczny \(\displaystyle\Series \frac 1 {n^2}\) jest zbieżny, to z kryterium porównawczego szereg \(\displaystyle\Series \frac 1 {n^\alpha}\) jest również zbieżny.
Twierdzenie 13.7 (Kryterium ilorazowe)
Niech \(\Forall{n\in \nn}{ a_n \geq 0,\ b_n \geq 0 } .\)
Jeśli istnieje granica właściwa
to szeregi \(\displaystyle \Series a_n\) oraz \(\displaystyle \Series b_n\) są jednocześnie zbieżne lub rozbieżne.
Ćwiczenie 13.6
Zbadajmy zbieżność szeregu \(\displaystyle \Series \sin \frac 1 n.\)
Rozwiązanie
Sposób 1.
Skorzystamy z kryterium porównawczego, by dowieść, że szereg jest rozbieżny.
W tym celu pokażmy, że \( \quad \tfrac 1 2 x \leq \sin x \quad \) dla \(x\in \Paren{0,\tfrac \pi 3}.\)
Istotnie, przyjmując
więc funkcja \(f\) rośnie na tym przedziale.
Ponieważ \(f(0) = 0\), to \(\Forall{x\in \Paren{0,\tfrac \pi 3}}{ f(x) > 0}\), czyli \(\tfrac 1 2 x \leq \sin x .\)
Zauważmy, że \(\Forall{n\in \nn}{\tfrac 1 n \in \Paren{0,\tfrac \pi 3}}\), więc \( \quad 0 \leq \dfrac 1 n \leq \sin \dfrac 1 n. \)
Ponieważ \(\displaystyle\Series \frac 1 {n^\alpha} \) jest rozbieżny dla \(\alpha = 1 \leq 1\), to z kryterium porównawczego szereg wyjściowy jest rozbieżny.
Sposób 2.
Przyjmując
obliczamy
Ponieważ \(\displaystyle\Series \frac 1 {n^\alpha} \) jest rozbieżny dla \(\alpha = 1 \leq 1\), to z kryterium ilorazowego szereg wyjściowy jest rozbieżny.
Twierdzenie 13.8 (Kryterium całkowe)
Niech \(m\in \nn\) i \(f:[m,+\infty)\to \rr\) będzie całkowalna na przedziałach domkniętych, nierosnąca i nieujemna.
Wówczas
są jednocześnie zbieżne lub rozbieżne.
Przykład 13.7
Pokażmy, że dla \(\alpha > 1\) szereg \(\displaystyle\Series \frac 1 {n^\alpha}\) jest zbieżny.
W tym celu weźmy funkcję
która jest całkowalna, nierosnąca i nieujemna.
Ponieważ, jak wiemy, dla \(\alpha > 1\), całka
jest zbieżna to również szereg \(\displaystyle \Series f(n) = \Series \frac 1 {n^\alpha}\) jest zbieżny.
Podsumowując, uogólniony szereg harmoniczny rzędu \(\alpha\),
Ćwiczenie 13.7
Zbadajmy zbieżność szeregów:
\(\displaystyle \sum_{n = 2}^{\infty} \frac 1 {n\ln n} \)
\(\displaystyle \Series \frac {n\sqrt n + 5} {n^3 + 4n^2 + 2026} .\)
Rozwiązanie
Weźmy funkcję
\[ f: [2,+\infty) \to \rr, \quad f(x) = \frac 1 {x \ln x}. \]Funkcja \(f\) jest malejąca, gdyż
\[ f'(x) = \frac {0-\Paren{\ln x + x \cdot \frac 1 x}}{x^2 \ln^2 x} = - \frac {\ln x + 1}{x^2 \ln^2 x} < 0 \qlq \ln x > -1 \qlq x > \frac 1 e . \]Funkcja \(f\) jest dodatnia, bo dla \(x \geq 2 \quad x \ln x \geq 2 \ln 2 > \ln 1 = 0.\)
Możemy skorzystać z kryterium całkowego.
Obliczamy
\[\begin{split} \IntDef{2}{+\infty}{f(x)} & = \LimInfty[T] \IntDef{2}{T}{\frac 1 {x \ln x}} = \LimInfty[T] \IntDef{2}{T}{\frac {\Paren{\ln x}' } {\ln x}} \\ & = \LimInfty[T] \ln(\ln x) \Big|_2^{T} = \LimInfty[T] \ln(\ln T) - \ln(\ln 2) = + \infty . \end{split}\]Ponieważ całka jest rozbieżna, to szereg jest rozbieżny.
Możemy skorzystać z kryterium porównawczego, gdyż dla \(n\in \nn\)
\[ 0 \leq \frac {n\sqrt n + 5} {n^3 + 4n^2 + 2026} \leq \frac {n\sqrt n + 5} {n^3} \leq \frac {n\sqrt n + 5n\sqrt n} {n^3} = 6\cdot \frac 1 {n^{\frac 3 2}}. \]Ponieważ \(6\cdot \displaystyle\Series \frac 1 {n^\alpha} \) jest zbieżny dla \(\alpha = \frac 3 2 > 1\), to szereg wyjściowy jest zbieżny.
Twierdzenie 13.9 (Kryterium d’Alemberta)
Niech \(\Forall{n\in \nn}{ a_n > 0} .\)
Jeśli istnieje granica właściwa lub niewłaściwa
wówczas
jeśli \(g < 1\), to \(\displaystyle \Series a_n\) jest zbieżny
jeśli \(g > 1\), to \(\displaystyle \Series a_n\) jest rozbieżny.
Ćwiczenie 13.8
Zbadajmy zbieżność szeregu \(\displaystyle \Series \frac {2^n\cdot n!}{n^n}.\)
Rozwiązanie
Zauważmy, że
oraz
Ponieważ \(\frac 2 e < 1,\) to z kryterium d’Alemberta wynnika, że szereg \(\displaystyle \Series a_n\) jest zbieżny.
Twierdzenie 13.10 (Kryterium Cauchy’ego)
Niech \(\Forall{n\in \nn}{ a_n \geq 0 } .\)
Jeśli istnieje granica właściwa lub niewłaściwa
wówczas
jeśli \(g < 1\), to \(\displaystyle \Series a_n\) jest zbieżny
jeśli \(g > 1\), to \(\displaystyle \Series a_n\) jest rozbieżny.
Ćwiczenie 13.9
Zbadajmy zbieżność szeregu \(\displaystyle \Series \Brack{\arctg\Paren{\cos \frac 1 n}}^{3n}.\)
Rozwiązanie
Zauważmy, że
Możemy skorzystać z kryterium Cauchy’ego.
Obliczmy
Ponieważ \(\Paren{\frac \pi 4}^3 < 1^3 = 1\), to szereg \(\displaystyle \Series a_n\) jest zbieżny.
Przykład 13.8
Zauważmy, że dla \(\displaystyle a_n = \frac 1 {n^\alpha}\) mamy
\[ \begin{aligned} \LimInfty \frac {a_{n+1}} {a_n} & = \left(\LimInfty \frac {n} {n+1}\right)^\alpha = 1, & \LimInfty \sqrt[n]{a_{n}} & = \left(\frac 1 {\LimInfty \sqrt[n]{n}} \right)^\alpha = 1, \end{aligned} \]a zatem ani kryterium d’Alemberta, ani kryterium Cauchy’ego nie rozstrzyga zbieżności uogólnionego szeregu harmonicznego \(\displaystyle \Series \frac 1 {n^\alpha}.\)
Jeśli dla danego ciągu \((a_n)\) o wyrazach dodatnich, granice
\[ \LimInfty \frac {a_{n+1}}{a_n}, \quad \LimInfty \sqrt[n]{a_n} \]istnieją, to są sobie równe i oba kryteria: d’Alemberta i Cauchy’ego, dają tę samą wiedzę na temat zbieżności szeregu \(\displaystyle \Series a_n.\)
Jednak zdarza się, ża tylko druga z tych granic istnieje i można skorzystać jedynie z kryterium Cauchy’ego.
Przykładem jest szereg
\[ \displaystyle \Series \frac{2 + (-1)^n} {4^n}. \]Jego wyrazy są dodatnie, więc można próbować zbadać jego zbieżność z obu kryteriów.
Zauważmy, że dla \(k \in \nn\):
\[ a_{2k-1} = \frac 1 {4^{2k-1}} , \quad a_{2k} = \frac 3 {4^{2k}}. \]Chcąc skorzystać z kryterium d’Alemberta obliczamy:
\[\begin{split} \begin{aligned} \frac{a_{2k}}{a_{2k-1}} & = \frac 3 {4^{2k}} \cdot \frac {4^{2k-1}} 1 = \frac 3 4 , \\ \frac{a_{2k+1}}{a_{2k}} & = \frac 1 {4^{2k+1}} \cdot \frac {4^{2k}} 3 = \frac 1 {12} , \end{aligned} \end{split}\]a więc ciąg \(\Paren{\frac {a_{n+1}}{a_n}}\) ma na zmianę wyrazy \(\frac 3 4\) lub \(\frac 1 {12}.\)
Zatem \(\LimInfty \frac {a\_{n+1}}{a_n} \) nie istnieje.
Chcąc skorzystać z kryterium Cauchy’ego zauważamy, że
\[ \frac 1 4 = \sqrt[n]{\frac 1 {4^n}} \leq \sqrt[n]{\frac {2 + (-1)^n} {4^n}} \leq \sqrt[n]{\frac {3} {4^n}} = \frac {\sqrt[n]{3}} 4 \LimToInfty \frac 1 {4} . \]Zatem z twierdzenia o 3. ciągach wnioskujemy, że \(\LimInfty \sqrt[n]{a_n} = \tfrac 1 {4} < 1.\)
Z kryterium Cauchy’ego szereg jest zbieżny.
13.7. Szeregi naprzemienne#
Definicja 13.5
Jeśli \(\forall n\in \nn \ a_n > 0\), to szereg
nazywamy szeregiem naprzemiennym .
Uwaga 13.4
Nazwa pochodzi oczywiście od tego, że wyrazy tego szeregu są na przemian dodatnie lub ujemne.
Sumy częściowe tego szeregu mają postać:
Twierdzenie 13.11 (Kryterium Leibniza)
Jeśli ciąg \((a_n)\) jest nierosnący i \(\LimInfty a_n = 0\), to szereg naprzemienny \(\displaystyle \Series (-1)^{n+1}\cdot a_n\) jest zbieżny.
Przykład 13.9
Szereg \( \quad \displaystyle \Series \frac{(-1)^{n+1}}{n^\alpha} \quad \) jest zbieżny \(\Leftrightarrow \alpha > 0.\)
Dla \(\alpha \leq 0\) nie jest spełniony warunek konieczny, ponieważ
\[ \Absolute{\frac{(-1)^{n+1}}{n^\alpha}} = n^{-\alpha} \geq 1^{-\alpha} = 1 \Quad\imply \LimInfty \Absolute{\frac{(-1)^{n+1}}{n^\alpha}} \neq 0 \Quad\imply \LimInfty {\frac{(-1)^{n+1}}{n^\alpha}} \neq 0. \]Dla \(\alpha > 0 \) możemy skorzystać z kryterium Leibniza, ponieważ
\[ a_n = \frac 1 {n^\alpha} > \frac 1 {\Paren{n+1}^\alpha} = a_{n+1} \Quad{\text{oraz}} \LimInfty a_n = 0. \]W powyższym twierdzeniu założenie, że ciąg \((a_n)\) jest nierosnący jest istotne.
Weźmy ciąg o wyrazach
\[\begin{split} a_n = \begin{cases} \frac 1 {2^{n-1}} & \text{dla nieparzystych } n \\ \frac 2 n & \text{dla parzystych } n \end{cases}, \end{split}\]który nie jest monotoniczny.
Łatwo pokazać, że \(\LimInfty a_n = 0\), jednakże szereg naprzemienny \(\displaystyle \Series (-1)^{n+1}\cdot a_n\) nie jest zbieżny.
Istotnie, suma częściowa tego szeregu ma postać:
\[\begin{split} S_k & = \frac 1 {2^0} - \frac 2 2 + \frac 1 {2^2} - \frac 2 4 + \frac 1 {2^4} - \frac 2 6 + \ldots + (-1)^{k+1}\cdot a_k \\ & = 1 + \frac 1 {4} + \left(\frac 1 {4}\right)^2 + \ldots + \left(\frac 1 {4}\right)^{\left[\frac {k-1} 2\right]} - \left( 1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \ldots + \frac 1 {\left[\frac k 2\right]} \right) \\ & = \frac{1 - \left(\frac 1 {4}\right)^{\left[\frac {k-1} 2\right]+1}}{1- \frac 1 4} - \left( 1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \ldots + \frac 1 {\left[\frac k 2\right]} \right). \end{split}\]Przy \(n \to +\infty\) odjemna zbiega do \(\frac 4 3\), ale odjemnik jest rozbieżny do \(+\infty\), więc \(\LimInfty[k] S_k = - \infty.\)
Zatem szereg jest rozbieżny.
Kryterium Leibniza nie można użyć do pokazania rozbieżności szeregu!
Z tego, że ciąg \((a_n)\) nie jest monotoniczny nie wynika, że szereg naprzemienny \(\displaystyle \Series (-1)^{n+1}\cdot a_n\) jest rozbieżny.
Na przykład ciąg
\[\begin{split} a_n = \begin{cases} \frac 1 {2^{n-1}} & \text{dla nieparzystych } n \\ \frac 1 {3^{n-2}} & \text{dla parzystych } n \end{cases}, \end{split}\]nie jest monotoniczny, ale suma częściowa tego szeregu ma postać:
\[\begin{split} S_k & = 1 + \frac 1 {4} + \left(\frac 1 {4}\right)^2 + \ldots + \left(\frac 1 {4}\right)^{\left[\frac {k-1} 2\right]} - \left( 1 + \frac 1 {9} + \left(\frac 1 {9}\right)^2 + \ldots + \left(\frac 1 {9}\right)^{\left[\frac {k} 2\right]} \right) \\ & = \frac{1 - \left(\frac 1 {4}\right)^{\left[\frac {k-1} 2\right]+1}}{1- \frac 1 4} - \frac{1 - \left(\frac 1 {9}\right)^{\left[\frac {k} 2\right]+1}}{1- \frac 1 9}. \end{split}\]Zatem \(\LimInfty[k] S_k = \frac 4 3 - \frac 9 8\), czyli szereg jest zbieżny.
Ćwiczenie 13.10
Zbadajmy zbieżność szeregu \(\displaystyle \sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n + \ln n}.\)
Rozwiązanie
Przyjmując \(a_n = \dfrac 1 {n + \ln n}\), sprawdźmy założenia kryterium Leibniza:
Ciag \(\Paren{a_n}\) jest malejący:
\[ n+1 + \ln (n+1) > n + \ln n \Quad\imply a_n = \frac 1 {n + \ln n} > \frac 1 {n+1 + \ln (n+1)} = a_{n+1} . \]\(\LimInfty a_n = \LimInfty \frac 1 {n + \ln n} = 0.\)
Zatem szereg \(\displaystyle\Series (-1)^{n+1}\cdot a_n\) jest zbieżny.
13.8. Zbieżność bezwzględna i warunkowa#
Twierdzenie 13.12
Jeśli szereg \(\displaystyle \Series |a_n|\) jest zbieżny, to \(\displaystyle \Series a_n\) jest zbieżny.
Przykład 13.10
Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Na przykład dla \(\displaystyle a_n = \frac {(-1)^{n+1}} n\) wiemy, że:
szereg \(\displaystyle \Series a_n\) jest zbieżny,
szereg \(\displaystyle \Series |a_n| = \Series \frac 1 n\) jest rozbieżny.
Definicja 13.6
Szereg zbieżny \(\displaystyle \Series a_n\) nazywamy:
bezwzględnie zbieżnym jeśli szereg \(\displaystyle \Series |a_n|\) jest zbieżny
warunkowo zbieżnym , jeśli szereg \(\displaystyle \Series |a_n|\) jest rozbieżny.
Przykład 13.11
Uogólniony szereg anharmoniczny \(\displaystyle \Series \frac{(-1)^{n+1}}{n^\alpha}\) jest: - rozbieżny dla \(\alpha \leq 0\)
zbieżny warunkowo dla \(\alpha \in (0,1]\)
zbieżny bezwzględnie dla \(\alpha > 1.\)
Ćwiczenie 13.11
Pokażmy, że szereg \(\displaystyle \Series \frac{1+2\cos n!}{n^2 + n}\) jest zbieżny.
Rozwiązanie
Nie jest to szereg naprzemienny, więc nie możemy skorzystać z kryterium Leibniza.
Pokażemy, że jest to szereg bezwzględnie zbieżny.
Zauważmy, że
Ponieważ \(3\cdot \displaystyle\Series \frac 1 {n^\alpha} \) jest zbieżny dla \(\alpha = 2 > 1\), to szereg \(\displaystyle \Series \Absolute{a_n}\) jest zbieżny, a zatem szereg \(\displaystyle \Series {a_n}\) jest zbieżny (bezwzględnie).
Przykład 13.12
Przypomnijmy nieudowodnione stwierdzenie, że dla funkcji
\(\displaystyle \IntDef{1}{+\infty}{f(x)}\) jest zbieżna
\(\displaystyle \IntDef{1}{+\infty}{|f(x)|}\) jest rozbieżna.
Jesteśmy gotowi by to pokazać.
Obliczamy całkę niewłaściwą dzieląc ją na sumę całek:
\[\begin{split} \begin{aligned} \IntDef{1}{+\infty}{f(x)} & = \LimInfty[N] \IntDef{1}{N}{\frac {(-1)^{[x]}} {[x]} } \\ & = \LimInfty[N] \bigg[ \IntDef{1}{2}{\frac {(-1)^{1}} {1} } + \IntDef{2}{3}{\frac {(-1)^{2}} {2} } \\ & + \IntDef{3}{4}{\frac {(-1)^{3}} {3} } + \ldots + \IntDef{N-1}{N}{\frac {(-1)^{N-1}} {N-1} } \bigg] \\ & = \LimInfty[N] \Brack{-1 + \frac 1 2 - \frac 1 3 + \frac 1 4 + \ldots + \frac {(-1)^{N-1}} {N-1} } \\ & = \LimInfty[N] \sum_{n=1}^{N-1} \frac {(-1)^{n}} {n} = \Series \frac {(-1)^{n}} {n} = - \Series {(-1)^{n+1}}\cdot \frac 1 {n}. \end{aligned} \end{split}\]Ponieważ ten szereg jest zbieżny, to również całka niewłaściwa jest zbieżna.
Analogicznie postępujemy w przypadku drugiej całki:
\[\begin{split} \IntDef{1}{+\infty}{\Absolute{f(x)}} & = \LimInfty[N] \IntDef{1}{N}{\frac {1} {[x]} } \\ & = \LimInfty[N] \Brack{ \IntDef{1}{2}{\frac {1} {1} } + \IntDef{2}{3}{\frac {1} {2} } + \IntDef{3}{4}{\frac {1} {3} } + \ldots + \IntDef{N-1}{N}{\frac {1} {N-1} } } \\ & = \LimInfty[N] \Brack{1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \frac 1 4 + \ldots + \frac {1} {N-1} } \\ & = \LimInfty[N] \sum_{n=1}^{N-1} \frac {1} {n} = \Series \frac {1} {n} \end{split}\]Ponieważ ten szereg jest rozbieżny, to również całka niewłaściwa jest rozbieżna.