Powtórzenie ze szkoły średniej

1. Powtórzenie ze szkoły średniej#

1.1. Zadania na zajęcia#

Ćwiczenie 1.1

Dla funkcji \(f(x) = x^x + \log_x \Paren{1+ 2\sqrt x + 3x^2}\) wyznacz:

\[ f(-x),\quad f\Paren{\frac 1 x},\quad f(\sqrt x)\quad \text{ oraz } \quad f\Paren{x^2}. \]

Ćwiczenie 1.2

Wyznacz dziedzinę \(D_f\), zbiór wartości \(R_f\), przedziały monotoniczności oraz naszkicuj wykres funkcji \(f\), jeśli:

  1. \(f(x)=\displaystyle\frac{x^2-3x+2}{4-x^2}\)

  2. \(f(x)=\displaystyle\frac {\log_{\sqrt 2} \Paren{\frac 1 2} - \log_3 x} {\log_3\Paren{9x}} \cdot \Paren{x^2-x-2} \ . \)

Ćwiczenie 1.3

Rozwiąż równanie/nierówność:

  1. \((1-x)(2-x)^2 (x+3)^3 < 0\)

  2. \(\dfrac {(x+3)^3}{(x^2 - 1)(x+1)} \geq 0\)

  3. \(3\log(x+1)=\log\Paren{1-x^2}\)

  4. \(\displaystyle\frac{x^2-x}{\log_2x-1}\leq 0\)

  5. \(2^{|x|-1}\leq \Paren{\displaystyle\frac{1}{2}}^{|x|}.\)

1.2. Zadania domowe#

Ćwiczenie 1.4

Dla funkcji \(f(x) = \dfrac {1+2x}{x - x^2} + \sin\Paren{x^{-1} + \sqrt x}\) wyznacz

\[ f(-x),\quad f\Paren{\frac 1 x},\quad f(\sqrt x)\quad \text{ oraz } \quad f\Paren{x^2}. \]

Ćwiczenie 1.5

Wyznacz dziedzinę \(D_f\), zbiór wartości \(R_f\), przedziały monotoniczności oraz naszkicuj wykres funkcji \(f\), jeśli:

  1. \(f(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2-2x+1}}\)

  2. \(f(x)=\displaystyle\frac{x^2+x+6}{2\log_5 (x+1)}\cdot \log_5\Paren{x^2 +2x + 1}.\)

Ćwiczenie 1.6

Rozwiąż równanie/nierówność:

  1. \(\sqrt{x + 4} > x-8\)

  2. \(\sqrt{x + 5} = 5 - \sqrt{x+10}\)

  3. \((1-x)^{-1}(2-x)^{-2} (x-3) \geq 0\)

  4. \(\log_3(x+1) + \log_{\sqrt 3} (x+1) + \log_{\frac 1 3}(x+1) = 6\)

  5. \((\log x - 1)(\log x - 10)(x+2) \leq 0\)

  6. \(\displaystyle \frac{\log_2x-1}{x^2-x}\leq 0\)

  7. \(\Paren{2^{|x+2|}}^2 - 4\cdot 2^{1-x} < 0.\)