Zastosowania całki oznaczonej

11. Zastosowania całki oznaczonej#

11.1. Zadania na zajęcia#

Ćwiczenie 11.10

Oblicz całki oznaczone:

  1. \(\displaystyle \IntDef{0}{2\pi}{|\sin x|} \)

  2. \(\displaystyle \IntDef{-2}{2}{x^2\cdot\sgn(x+1)}.\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 9.5.

Ćwiczenie 11.11

Znajdź i naszkicuj wykres funkcji \(F:\rr\to \rr\),

\[\begin{split}\begin{aligned} F(x) & =\IntDef[t] {-1} x {f(t)} \ , & \text{gdzie } f(t) & = \begin{cases} 0 & \text{dla } t<0 \\ e^{-t} & \text{dla } t\geq 0 \end{cases} . \end{aligned}\end{split}\]

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 9.2, Ćw. 9.5.

Ćwiczenie 11.12

Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi o równaniach:

  1. \(y=\sin x,\quad y=\cos 2x\), \(\quad\) zawierającego we wnętrzu punkt \(\left(0, \frac{1}{2}\right) \)

  2. \(y=e^{-x},\quad y=e^{3x},\quad y=\sqrt{e}.\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 9.9, Ćw. 9.10.

Ćwiczenie 11.13

Oblicz objętość bryły obrotowej powstałej przez obrót wokół osi \(OX\) obszaru opisanego nierównościami:

  1. \(0\leq x\leq 1,\quad 0\leq y\leq \sqrt{1-x^2} \quad\) – półkula

  2. \(0\leq x\leq \pi,\quad \sin x\leq y\leq 2\sin x.\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 9.11.

Ćwiczenie 11.14

Oblicz pole powierzchni obrotowej powstałej przez obrót wokół osi \(OX\) wykresu funkcji:

  1. \(y=3x \quad\) dla \(0\leq x\leq 1 \quad\) – powierzchnia boczna stożka

  2. \(y=\sqrt{x} \quad\) dla \(0\leq x\leq 1\).

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 9.12.

Ćwiczenie 11.15

Oblicz długość łuku krzywej:

  1. \(x(t) = t^2,\quad y(t) = t -\tfrac 1 3 t^3 \quad\) dla \(0\leq t\leq 3 \)

  2. \(y=x\sqrt{x} \quad\) dla \(0\leq x\leq 1.\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 9.13, Ćw. 9.14.

11.2. Zadania domowe#

Ćwiczenie 11.16

Znajdź i naszkicuj wykres funkcji \(F:\rr\to \rr\), jeśli

\[\begin{split}\begin{aligned} F(x) & =\IntDef[t] {-1} x {f(t)} \ , & \text{gdzie } f(t) & = \begin{cases} 1 & \text{dla } t<0 \\ \sin{t} & \text{dla } t\geq 0 \end{cases} . \end{aligned}\end{split}\]

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 9.2, Ćw. 9.5.

Ćwiczenie 11.17

Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi o równaniach:

  1. \(2y=-x^2,\quad 2x=-y^2\)

  2. \(x=0, \quad x = \dfrac \pi 2, \quad y= 1- x^2, \quad y = 1+e^{2\sin(x)} \sin(2x) .\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 9.9, Ćw. 9.10.

Ćwiczenie 11.18

Oblicz objętość bryły obrotowej powstałej przez obrót wokół osi \(OX\) obszaru opisanego nierównościami:

  1. \(0\leq x\leq\frac{\pi}{2},\quad 0\leq y\leq \sin x+\cos x\)

  2. \(1\leq x\leq 2,\quad 0\leq y\leq \dfrac 1 x \quad\) – fragment trąbki Torricellego

  3. \(0\leq x\leq \pi,\quad 0\leq y\leq \sin x \quad\) – bryła pod łukiem sinusoidy

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 9.11.

Ćwiczenie 11.19

Oblicz pole powierzchni obrotowej powstałej przez obrót wokół osi \(OX\) wykresu funkcji:

  1. \(y=\sqrt{1-x^2} \quad\) dla \(-1\leq x\leq 1 \quad\) – sfera

  2. \(y=\cosh x \quad\) dla \(0\leq x\leq 2 \quad\) – pasek katenoidy

  3. \(y=\cosh x \quad\) dla \(-1\leq x\leq 1.\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 9.12.

Ćwiczenie 11.20

Oblicz długość łuku krzywej:

  1. \(x(t) = t \cos t,\quad y(t) = t \sin t \quad\) dla \(0\leq t\leq \pi\)

  2. \(y= 1 - \ln(\cos x ) \quad\) dla \(0\leq x\leq \frac \pi 4.\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 9.13, Ćw. 9.14.

Ćwiczenie 11.21

Oblicz wartości \(X_{\text{śr}}, X_{\text{św}}, X_{\text{sk}} \) dla \(\frac {2\pi} \omega\)-okresowego \(x(t) = X_m\sin(\omega t),\) gdzie \(X_m > 0\) jest amplitudą sygnału, zaś \(\omega > 0\) jego pulsacją.

Ćwiczenie 11.22

Oblicz \(X_{\text{śr}}, X_{\text{św}}, X_{\text{sk}} \) dla sygnału prostokątnego o okresie \(T>0\), amplitudzie \(X_m > 0\) i współczynniku wypełnienia \(\alpha\in(0,1)\), danego dla \(t\in[0,T)\) wzorem \( x(t) = \begin{cases} X_m & \text{dla } t\in[0,\alpha T] \\ 0 & \text{dla } t\in(\alpha T, T) \end{cases}. \)