Całka niewłaściwa

12. Całka niewłaściwa#

12.1. Zadania na zajęcia#

Ćwiczenie 12.8

Oblicz całkę niewłaściwą I rodzaju:

  1. \(\displaystyle \IntDef 0 {+\infty} { x\cdot e^{-x^2} } \)

  2. \(\displaystyle \IntDef {-\infty} {+\infty} { \frac{1}{x^2+4x+5} } .\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 10.1, Ćw. 10.2.

Ćwiczenie 12.9

Sprawdzając wszystkie założenia odpowiednich kryteriów zbieżności pokaż, że całka niewłaściwa I rodzaju jest zbieżna:

  1. \(\displaystyle \IntDef 0 {+\infty} {\sqrt{x}\cdot e^{-x} } \)

  2. \(\displaystyle \IntDef 1 {+\infty} { \frac{x\cdot\cos x}{x^3+x+1} } .\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 10.3, Ćw. 10.5, Ćw. 10.6.

Ćwiczenie 12.10

Sprawdzając wszystkie założenia odpowiednich kryteriów zbieżności pokaż, że całka niewłaściwa I rodzaju jest rozbieżna:

  1. \(\displaystyle \IntDef 1 {+\infty} { \frac{2x+1+\sin 2x}{x^2+x+1} } \)

  2. \(\displaystyle \IntDef 1 {+\infty} { \frac{x\cdot\arctan x}{\sqrt{1+x^4}} } .\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 10.4, Ćw. 10.3.

Ćwiczenie 12.11

Oblicz całkę niewłaściwą II rodzaju:

  1. \(\displaystyle \IntDef 1 e { \frac{1}{x \sqrt{\ln x}} } \)

  2. \(\displaystyle \IntDef 0 2 { \frac{1}{x^2-4x+3} } .\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 10.7.

Ćwiczenie 12.12

Sprawdzając wszystkie założenia odpowiednich kryteriów zbieżności pokaż, że całka niewłaściwa II rodzaju:

  1. \(\displaystyle \IntDef 0 1 { \frac{\sqrt{\sin x}}{x + 2x^2} } \) \(\quad\) jest zbieżna;

  2. \(\displaystyle \IntDef 0 1 { \frac{e^{1+x}}{x^2} } \) \(\quad\) jest rozbieżna.

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 10.8, Ćw. 10.9, Ćw. 10.10, Ćw. 10.11.

12.2. Zadania domowe#

Ćwiczenie 12.13

Oblicz całkę niewłaściwą I rodzaju:

  1. \(\displaystyle \IntDef {-\infty} 0 { e^x\cdot\cos x } \)

  2. \(\displaystyle \IntDef {-\infty} {+\infty} { \frac {4x}{x^2+4} } .\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 10.1, Ćw. 10.2.

Ćwiczenie 12.14

Sprawdzając wszystkie założenia odpowiednich kryteriów, zbadaj zbieżność całki niewłaściwej I rodzaju:

  1. \(\displaystyle \IntDef 0 {+\infty} { \frac{5x+\sin x}{1+x^2\sqrt{x}} } \)

  2. \(\displaystyle \IntDef {1} {+\infty} { \frac{\sqrt{x + \sin x}}{x + \arctan x^2} } \)

  3. \(\displaystyle \IntDef 1 {+\infty} { \frac{x\cdot\arctan x}{\sqrt{1+x^7}} } \)

  4. \(\displaystyle \IntDef {e^2} {+\infty} { \frac{1}{x\ln(\ln x)} } .\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 10.4, Ćw. 10.3, Ćw. 10.6.

Ćwiczenie 12.15

Oblicz całkę niewłaściwą II rodzaju:

  1. \(\displaystyle \IntDef 1 2 { \frac{x}{\sqrt{x-1}} } \)

  2. \(\displaystyle \IntDef 0 1 { x\ln x } .\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 10.7.

Ćwiczenie 12.16

Sprawdzając wszystkie założenia odpowiednich kryteriów zbieżności pokaż, że całka niewłaściwa II rodzaju:

  1. \(\displaystyle \IntDef 0 1 { \frac{1+\cos x}{\sqrt{x} + x^2} }\)\(\quad\) jest zbieżna;

  2. \(\displaystyle \IntDef 0 1 { \frac{1+x}{\sin x} }\) \(\quad\) jest rozbieżna.

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 10.8, Ćw. 10.9, Ćw. 10.10, Ćw. 10.11.