Szeregi potęgowe

15. Szeregi potęgowe#

15.1. Zadania na zajęcia#

Uwaga 15.4

W rozwiązaniach poniższych zadań mogą być przydatne rozwinięcia funkcji:

  • \( \displaystyle \frac 1 {1 -x} = \SeriesP x^n \qquad\) dla \(x \in (-1,1)\)

  • \( \displaystyle e^x = \SeriesP \frac {x^n}{n!} \qquad\) dla \(x \in \rr\)

  • \( \displaystyle \ln(1+x) = \Series \frac{(-1)^{n+1}} n \cdot x^n \qquad\) dla \(x \in (-1,1]\)

  • \( \displaystyle \sin x = \SeriesP \frac {(-1)^n}{(2n+1)!} \cdot x^{2n+1} \qquad\) dla \(x \in \rr\)

  • \( \displaystyle \cos x = \SeriesP \frac {(-1)^n}{(2n)!} \cdot x^{2n} \qquad\) dla \(x \in \rr.\)

Ćwiczenie 15.6

Wyznacz promień zbieżności i przedział zbieżności szeregu potęgowego:

  1. \(\displaystyle \SeriesP \frac {4^n}{n+1} (2-x)^n \)

  2. \(\displaystyle \sum_{n=2}^\infty \frac {(x-1)^n}{n\cdot 2^n \ln n} . \)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 14.1.

Ćwiczenie 15.7

Oblicz sumę szeregu liczbowego \(\displaystyle \SeriesP \frac {(n+1)(n+2)(n+3)}{3^n}\).

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 14.3.

Ćwiczenie 15.8

Korzystając ze znanych rozwinięć, rozwiń w szereg Maclaurina funkcję \(f\), podaj dla jakich \(x\in\rr\) prawdziwe jest to rozwinięcie i oblicz podane pochodne dla:

  1. \(f(x) = x^3 \cos 4x, \quad\) oblicz: \(f^{(13)}(0), f^{(14)}(0)\)

  2. \(f(x) = x^5 \ln(2+x), \quad\) oblicz: \(f^{(4)}(0)\), \(f^{(23)}(0)\)

  3. \(\displaystyle f(x) = \frac {-5x^5} {x^2 + 4}, \quad\) oblicz: \(f^{(4)}(0)\), \(f^{(19)}(0)\)

  4. \(\displaystyle f(x) = \frac {1} {x^2 - 3x + 2}, \quad\) oblicz: \(f^{(17)}(0)\)

  5. \(\displaystyle f(x) = \frac {-2} {x^4 - 2x^2 + 1}, \quad\) oblicz: \(f^{(12)}(0).\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 14.5, Ćw. 14.4.

Ćwiczenie 15.9

Całkując rozwinięcie Maclaurina funkcji

\[ \displaystyle g(x) = \frac 1 {1+x^2} \]

znajdź rozwinięcie Maclaurina funkcji \(f(x) = \arctan x\). Pokaż, że jest ono prawdziwe dla \(x\in [-1,1]\). Ponadto pokaż, że

\[ \begin{aligned} \SeriesP \frac {(-1)^n} {2n+1} = \frac \pi 4. \end{aligned} \]

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 14.2.

15.2. Zadania domowe#

Ćwiczenie 15.10

Wyznacz promień zbieżności i przedział zbieżności szeregu potęgowego:

  1. \(\displaystyle \SeriesP \frac {(x+3)^{2n}}{5^n + 7^n} \)

  2. \(\displaystyle \SeriesP \frac {\ln(n+2)}{n+2} (x-1)^n \)

  3. \(\displaystyle \sum_{n=2}^\infty \frac {3^n}{n \Paren{\ln n}^2} (-x)^n. \)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 14.1.

Ćwiczenie 15.11

Oblicz sumę szeregu liczbowego \(\displaystyle \SeriesP \frac {1}{n\cdot 3^n}\).

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 14.3, Ćw. 14.2.

Ćwiczenie 15.12

Korzystając ze znanych rozwinięć, rozwiń w szereg Maclaurina funkcję \(f\), podaj dla jakich \(x\in\rr\) prawdziwe jest to rozwinięcie i oblicz podane pochodne dla:

  1. \(\displaystyle f(x) = x^5 \ln(2+x^3), \quad\) oblicz: \(f^{(8)}(0)\), \(f^{(11)}(0)\)

  2. \(\displaystyle f(x) = x^6 \arctan x, \quad\) oblicz: \(f^{(11)}(0), f^{(22)}(0)\)

  3. \(\displaystyle f(x) = x \arctan x^2, \quad\) oblicz: \(f^{(27)}(0), f^{(36)}(0)\)

  4. \(\displaystyle f(x) = x^5 \cos^2 x, \quad\) oblicz: \(f^{(55)}(0), f^{(66)}(0)\)

  5. \(\displaystyle f(x) = \frac {x^5 - 2x^3} {4 + x^2}, \quad\) oblicz: \(f^{(10)}(0), f^{(11)}(0)\)

  6. \(\displaystyle f(x) = \frac {x^6} {4 - x^2}, \quad\) oblicz: \(f^{(10)}(0), f^{(11)}(0)\)

  7. \(\displaystyle f(x) = \frac {3x^7} {2 + 3x - 2x^2}, \quad\) oblicz: \(f^{(9)}(0).\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 14.5, Ćw. 14.4.