Szeregi Fouriera

Zawartość

15. Szeregi Fouriera#

15.1. Harmoniki#

Narration

Niech \(\omega > 0\) oraz \(a, b\in\rr\), przy czym \(a^2 + b^2 \neq 0\).

Definicja 15.1

GEOGEBRA Harmoniką nazywamy funkcję \(f:\rr\to\rr\) o okresie \(\dfrac{2\pi} \omega\) zadaną wzorem

\[ f(t) = a \cos (\omega t) + b \sin (\omega t). \]

Liczbę \(\omega\) nazywamy pulsacją tej harmoniki.

Uwaga 15.1

W zastosowaniach ważna jest również inna postać harmoniki

\[ a \cos (\omega t) + b \sin (\omega t) = r \cos(\omega t + \varphi), \]

gdzie \( r > 0\) oraz \(\varphi \in \rr\).

W celu znalezienia zależności między parametrami zauważmy, że

\[ r \cos(\omega t + \varphi) = r \cos (\omega t)\cdot \cos \varphi - r \sin (\omega t)\cdot \sin \varphi, \]

więc

\[\begin{split} \begin{cases} a = r \cos \varphi \\ b = -r \sin \varphi \end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases} r^2 = a^2 + b^2 \\ \cos \varphi = \dfrac a r \\ \sin \varphi = -\dfrac b r \end{cases} . \end{split}\]

Odwołując się do liczb zespolonych możemy zapisać równość \( \quad a - bj = r\cdot\left(\cos \varphi + j \sin \varphi\right), \quad \) z której otrzymamy równoważne zależności:

\[ r = |a-bj| = \sqrt{a^2 + b^2} , \quad \varphi = \ArgPrincipal \Paren{a - b j} . \]

Definicja 15.2

Liczbę \(r > 0\) nazywamy amplitudą, zaś \(\varphi\) – fazą początkową tej harmoniki.

15.2. Szeregi trygonometryczne#

Narration

Przypomnijmy dwa ciągi funkcyjne:

funkcji trygonometrycznych cosinus, gdzie \(\ell\in\rr_+\) jest ustalone i \(f_n:\rr \to \rr\),

\[ \displaystyle f_n(x) = \cos \frac {n\pi x}{\ell}, \qquad n\in \nn_0\]

Wspólny okres dla tych funkcji wynosi \(T=2\ell\).
funkcji trygonometrycznych sinus, gdzie \(\ell\in\rr_+\) jest ustalone i \(f_n:\rr \to \rr\),

\[ \displaystyle f_n(x) = \sin \frac {n\pi x}{\ell}, \qquad n\in \nn . \]

Wspólny okres dla tych funkcji wynosi \(T=2\ell\).

Ustalmy \(\ell\in\rr_+\) i niech \((a_n)_{n\in\nn_0}\) i \((b_n)_{n\in\nn}\) będą ciągami liczb rzeczywistych.

Rozważmy ciąg funkcyjny \((f_n: \rr \to \rr)_{n\in\nn_0}\), harmonik o pulsacji \(\dfrac {n\pi}{\ell}\) (czyli okresie \(\dfrac {2\ell} n\) dla \(n\in \nn\)):

\[\begin{split} f_0(x) & = \frac{a_0} 2\ifcdot\cos \frac {0\pi x}{\ell} = \frac{a_0} 2, \\ f_n(x) & = a_n\ifcdot\cos \frac {n\pi x}{\ell} + b_n\ifcdot\sin \frac {n\pi x}{\ell} \qquad \text{dla }n\in\nn. \end{split}\]

Funkcje \(f_n\) mają wspólny okres \(2\ell\), więc są jednoznacznie wyznaczone przez swoje wartości na przedziale \([-\ell, \ell]\).

Zatem w zależności od potrzeby możemy zajmować się:
- funkcjami obciętymi \(f_n : [-\ell, \ell] \to \rr\)
- funkcjami okresowymi \(f_n : \rr \to \rr\) o wspólnym okresie \(2\ell\).

Definicja 15.3

GEOGEBRA Wielomianem trygonometrycznym na przedziale \([-\ell, \ell]\) stopnia \(n\) nazywamy \(n\)-tą sumę częściową tego ciągu

\[\begin{split} S_n(x) = \sum_{k=0}^n f_k(x) & = \frac{a_0} 2 + \sum_{k=1}^n \left[a_k\ifcdot\cos \frac {k\pi x}{\ell} + b_k\ifcdot\sin \frac {k\pi x}{\ell} \right] \\ & = \frac{a_0} 2 + \left( a_1\ifcdot\cos \frac {\pi x}{\ell} + b_1\ifcdot\sin \frac {\pi x}{\ell} \right) + \ldots + \left( a_n\ifcdot\cos \frac {n\pi x}{\ell} + b_n\ifcdot\sin \frac {n\pi x}{\ell} \right) \\ & = \left( \frac {a_0} 2 + a_1\ifcdot\cos \frac {\pi x}{\ell} + \ldots + a_n\ifcdot\cos \frac {n\pi x}{\ell} \right) + \left( b_1\ifcdot\sin \frac {\pi x}{\ell} + \ldots + b_n\ifcdot\sin \frac {n\pi x}{\ell} \right) . \end{split}\]

Szeregiem trygonometrycznym na przedziale \([-\ell, \ell]\) nazywamy ciąg sum częściowych \((S_n)_{n\in\nn}\) oraz jego granicę

\[ S(x) = \frac{a_0} 2 + \Series \left[a_n\ifcdot\cos \frac {n\pi x}{\ell} + b_n\ifcdot\sin \frac {n\pi x}{\ell} \right] , \]

gdzie liczby \(a_n\) dla \(n\in\nn_0\), oraz \(b_n\) dla \(n\in\nn\) nazywamy współczynnikami szeregu trygonometrycznego.

Uwaga 15.2

W powyższych definicjach możemy przyjąć jedną z dwóch interpretacji:
- \(S_n, S : [-\ell, \ell] \to \rr\)
- \(S_n, S : \rr \to \rr\) są funkcjami okresowymi o wspólnym okresie \(T = 2\ell\).
W teorii sygnałów:
- \(f_0 :\rr \to \rr\) to sygnał stały
- \(f_n : \rr \to \rr\) to sygnał harmoniczny o okresie podstawowym \(\displaystyle\frac {2\ell} n\).
  
  W szczególności, \(f_1\) jest sygnałem harmonicznym podstawowym o okresie \(2\ell\).
- suma częściowa \(S_n : \rr \to \rr\) odpowiada wypadkowej tych sygnałów z odpowiednimi amplitudami.
Z rozważań o harmonikach wiemy, że dla \(n\in\nn\) mamy

\[ \begin{aligned} f_n(x) & = a_n\ifcdot\cos \frac {n\pi x}{\ell} + b_n\ifcdot\sin \frac {n\pi x}{\ell} = r_n \ifcdot\cos\left(\frac {n\pi x}{\ell} + \varphi_n\right), \end{aligned} \]

gdzie \(r_n = \Absolute{a_n - b_n j} \geq 0\), oraz \(\varphi_n = \ArgPrincipal\Paren{a_n - b_n j} \in \left(-\pi, \pi \right] \) jeśli \(a_n\cdot b_n\neq 0\).

Stąd szereg trygonometryczny można inaczej zapisać w postaci

\[ S(x) = \frac {a_0} 2 + \Series r_n \ifcdot\cos\left(\frac {n\pi x}{\ell} + \varphi_n\right). \]

15.3. Warunki Dirichleta#

Narration

Niech \(X\subseteq \rr\) oraz \(a,b \in \rr\), \(a< b\).

Definicja 15.4

Funkcję \(f:X\to\rr\), ograniczoną w przedziale \((a, b)\), nazywamy przedziałami monotoniczną w tym przedziale, jeżeli można go podzielić na skończoną liczbę podprzedziałów, wewnątrz których funkcja \(f\) jest monotoniczna.

Przykład 15.1

Funkcja \(f:\rr\to \rr\),

\[ f(x) = x - [x], \]

jest przedziałami monotoniczna na każdym przedziale \((a, b)\).

Przykład 15.2

Funkcja \(f:(0, + \infty)\to \rr\),

\[ f(x) = \sin \frac 1 x, \]

dla każdego \(b>0\), nie jest przedziałami monotoniczna w przedziale \((0, b)\)
dla każdych \(b > a >0\), jest przedziałami monotoniczna na każdym przedziale \((a, b)\).

Zauważmy, że \(f\) jest złożeniem funkcji \(\sin x\) oraz \(\frac 1 x\), które są przedziałami monotoniczne na każdym podprzedziale \(\rr\setminus\Set{0}\).

Zatem złożenie funkcji przedziałami monotonicznych nie musi mieć tej własności.

Przykład 15.3

Podobnie suma funkcji przedziałami monotonicznych nie musi mieć tej własności.

W tym celu można pokazać, że \(f_1(x) = x^2\sin\frac 1 x + 3x\) oraz \(f_2(x) = -3x\) są monotoniczne (więc również na przedziałami) w przedziale \((0,+\infty)\), ale ich suma \(f_1(x) + f_2(x) = x^2\sin\frac 1 x\) nie jest nawet przedziałami monotoniczna.

Stwierdzenie 15.1

Jeśli ograniczona funkcja \(f:(a,b)\to\rr\) ma skończoną liczbę ekstremów lokalnych, to jest przedziałami monotoniczna.

Definicja 15.5

Funkcja \(f:X\to \rr \), ograniczona w przedziale \((a,b)\), spełnia w przedziale \([a, b]\) warunki Dirichleta , jeżeli:

\(f\) jest przedziałami monotoniczna w \((a, b)\)
\(f\) jest ciągła w \((a, b)\), z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów nieciągłości I-go rodzaju, przy czym w każdym punkcie nieciągłości \(x_0\) spełniony jest warunek

\[ f(x_0) = \frac 1 2 \left(\LimIn{x_0^-} f(x) + \LimIn{x_0^+} f(x) \right) \]
na końcach \([a, b]\) spełnione są równości

\[ f(a) = f(b) = \frac 1 2 \left( \LimIn{a^+} f(x) + \LimIn{b^-} f(x) \right). \]

Warunki te nazywamy odpowiednio: pierwszym, drugim i trzecim warunkiem Dirichleta.

Ćwiczenie 15.1

Funkcja \(f:[-1, 1]\to \rr\), \(f(x) = x - [x],\) nie spełnia warunków Dirichleta na przedziale \([-1,\ 1]\).

Jak należy zmienić jej wartości w punktach nieciągłości i na brzegu dziedziny, by warunki były spełnione?

Informacja

Pomoże rozwiązać Ćw. 16.1, Ćw. 16.2, Ćw. 16.3, Ćw. 16.4, Ćw. 16.5, Ćw. 16.6, Ćw. 16.7, Ćw. 16.8, Ćw. 16.9.

Rozwiązanie

Funkcja jest rosnąca na \((-1, 0)\) i na \((0, 1)\) więc jest przedziałami monotoniczna.
Funkcja jest ciągła w przedziale \((-1, 1)\) poza punktem \(x_0 = 0\).

Drugi warunek Dirichleta będzie spełniony jeśli

\[ \begin{aligned} f(0) & = \frac 1 2 \left(\LimIn{0^-} f(x) + \LimIn{0^+} f(x) \right) = \frac 1 2 \Paren{\LimIn{0^-} \Paren{x+1} + \LimIn{0^+} x } = \frac 1 2 \Paren{1 + 0} = \frac 1 2 . \end{aligned} \]
Trzeci warunek Dirichleta będzie spełniony jeśli

\[ f(-1) = f(1) = \frac 1 2 \Paren{ \LimIn{-1^+} f(x) + \LimIn{1^-} f(x) } = \frac 1 2 \Paren{ \LimIn{-1^+} \Paren{x+1} + \LimIn{1^-} x } = \frac 1 2 \Paren{ 0 + 1} = \frac 1 2 . \]

15.4. Szereg trygonometryczny Fouriera#

Narration

Niech \(\ell >0\) i niech \(f: [-\ell, \ell] \to \rr\) będzie funkcją całkowalną.

Definicja 15.6

Przyjmijmy:

(15.1)#\[\begin{split}\begin{aligned} a_n & = \frac 1 \ell \IntDef{-\ell}{\ell}{f(x)\cdot \cos \frac {n\pi x}{\ell} }, \qquad \text{dla } n\in \nn_0 , \\ b_n & = \frac 1 \ell \IntDef{-\ell}{\ell}{f(x)\cdot \sin \frac {n\pi x}{\ell} }, \qquad \text{dla } n\in \nn , \end{aligned}\end{split}\]

w szczególności

\[ a_0 = \frac 1 \ell \IntDef{-\ell}{\ell}{f(x)}. \]

Szereg trygonometryczny

\[ S_f(x) = \frac{a_0} 2 + \Series \left[a_n\ifcdot\cos \frac {n\pi x}{\ell} + b_n\ifcdot\sin \frac {n\pi x}{\ell} \right], \]

nazywamy szeregiem trygonometrycznym Fouriera funkcji \(f\) w przedziale \([-\ell, \ell]\).

Twierdzenie 15.2 (Dirichleta)

Niech \(\ell >0\) i niech \(f: [-\ell, \ell] \to \rr\) będzie funkcją całkowalną spełniającą warunki Dirichleta na przedziale \([-\ell,\ell]\).

Wówczas

dla każdego \(x\in [-\ell, \ell]\) zachodzi równość

\[ f(x) = S_f(x) = \frac{a_0} 2 + \Series \left[a_n\ifcdot\cos \frac {n\pi x}{\ell} + b_n\ifcdot\sin \frac {n\pi x}{\ell} \right], \]

gdzie współczynniki \(a_n, b_n\) dane są wzorami (15.1)
jeśli dla każdego \(x\in [-\ell, \ell],\)

\[ f(x) = \frac{a_0} 2 + \Series \left[a_n\ifcdot\cos \frac {n\pi x}{\ell} + b_n\ifcdot\sin \frac {n\pi x}{\ell} \right], \]

to współczynniki \(a_n, b_n\) dane są wzorami (15.1).

Wniosek 15.3

Jeśli \(f:\rr \to \rr\) jest funkcją całkowalną, okresową o okresie podstawowym \(2\ell\), spełniającą warunki Dirichleta na przedziale \([-\ell,\ell]\), to powyższa równość jest prawdziwa dla \(x\in \rr\) i

\[\begin{split} \begin{aligned} a_n & = \frac 1 \ell \IntDef{x_0}{x_0+ 2\ell}{f(x)\cdot \cos \frac {n\pi x}{\ell} }, \\ b_n & = \frac 1 \ell \IntDef{x_0}{x_0 + 2\ell}{f(x)\cdot \sin \frac {n\pi x}{\ell} }, \end{aligned} \end{split}\]

dla \(n\in \nn_0\), gdzie \(x_0\in\rr\) można wybrać dowolnie (w szczególności można przyjąć \(x_0 = 0\)).

Uwaga 15.3

Jeśli dla funkcji \(f\) zachodzi równość z powyższego twierdzenia, to mówimy, że funkcja \(f\) rozwija się w szereg Fouriera w przedziale \([-\ell, \ell]\).
Punkt 2. z powyższego twierdzenia mówi, że rozwinięcie w szereg Fouriera funkcji \(f\) jest jednoznaczne jeśli tylko istnieje.
Jeśli \(f:[-\ell, \ell]\to \rr\) jest funkcją przedziałami monotoniczną i nieciągłą w skończonej liczbie punktów, przy czym są to nieciągłości I-go rodzaju, to można „poprawić” jej wartości w tych punktach, tak by warunki Dirichleta były spełnione.

Następnie można rozwinąć „poprawioną” funkcję w szereg Fouriera i równość z twierdzenia Dirichleta, będzie zachodzić we wszystkich punktach ciągłości \(f\) z przedziału \((-\ell, \ell)\).
Jeśli \(f:[-\ell, \ell] \to \rr\) jest nieparzysta i rozwija się w szereg Fouriera, to:
- funkcja \(\displaystyle x \mapsto f(x)\cdot \cos \frac {n\pi x}{\ell} \) jest nieparzysta jako iloczyn funkcji nieparzystej i parzystej; to implikuje, że
  
  \[ a_n = \frac 1 \ell \IntDef{-\ell}{\ell}{f(x)\cdot \cos \frac {n\pi x}{\ell} } = 0, \qquad \text{dla } n\in \nn_0 \]
- funkcja \(\displaystyle x \mapsto f(x)\cdot \sin \frac {n\pi }{\ell} x \) jest parzysta, jako iloczyn funkcji nieparzystych; to implikuje, że
  
  \[ b_n = \frac 2 \ell \IntDef{0}{\ell}{f(x)\cdot \sin \frac {n\pi x}{\ell} }, \quad \text{dla } n\in \nn. \]
Mówimy, że funkcja \(f\) rozwija się w szereg sinusów:

\[ \quad f(x) = \Series b_n\ifcdot\sin \frac {n\pi x}{\ell}. \]
Analogicznie, jeśli \(f: [-\ell, \ell] \to \rr\) jest parzysta i rozwija się w szereg Fouriera, to:
- funkcja \(\displaystyle x \mapsto f(x)\cdot \cos \frac {n\pi x}{\ell} \) jest parzysta jako iloczyn funkcji parzystych; to implikuje, że
  
  \[ a_n = \frac 2 \ell \IntDef{0}{\ell}{f(x)\cdot \cos \frac {n\pi x}{\ell} }, \quad \text{dla } n\in \nn_0 \]
- funkcja \(\displaystyle x \mapsto f(x)\cdot \sin \frac {n\pi }{\ell} x \) jest nieparzysta, jako iloczyn funkcji parzystej i nieparzystej; to implikuje, że
  
  \[ b_n = \frac 1 \ell \IntDef{-\ell}{\ell}{f(x)\cdot \sin \frac {n\pi x}{\ell} } = 0, \quad \text{dla } n\in \nn. \]
Mówimy, że funkcja \(f\) rozwija się w szereg cosinusów:

\[ f(x) = \frac{a_0} 2 + \Series a_n\ifcdot\cos \frac {n\pi x}{\ell}. \]

Ćwiczenie 15.2

Znajdźmy rozwinięcie Fouriera (w szczególności współczynniki \(a_n\) i \(b_n\)) funkcji \(f(x) = \sin x\) w przedziale \([-\ell, \ell]\) dla:

\(\ell = 2\pi\)
\(\ell = \pi\)
\(\displaystyle \ell = \frac \pi 2\).

Informacja

Pomoże rozwiązać Ćw. 16.1.

Rozwiązanie

W każdym z trzech przypadków sprawdzamy warunki Dirichleta:

Funkcja jest przedziałami monotoniczna, bo ma skończoną liczbę ekstremów lokalnych.
Funkcja jest ciągła.
Trzeci warunek Dirichleta będzie spełniony jeśli

\[ f(-\ell) = f(\ell) = \frac 1 2 \Paren{ \LimIn{-\ell^+} \sin x + \LimIn{\ell^-} \sin x } = \frac 1 2 \Paren{ \sin(-\ell) + \sin(\ell)} = 0 . \]

W pierwszych dwóch przypadkach warunek jest spełniony, zaś w trzecim należy przyjąć \(f\Paren{-\frac \pi 2} = f\Paren{\frac \pi 2} = 0.\)

Ponadto zauważmy, że funkcja jest nieparzysta, więc \( \quad \Forall{n \in \nn_0} a_n = 0. \)

Jeśli \( \quad \ell = 2\pi\), \(\quad\) to \( \quad \dfrac {n\pi x}{\ell} = \dfrac {n\pi x}{2\pi} = n\cdot \dfrac {x}{2}. \quad \) Zapiszmy funkcję w postaci

\[ f(x) = 1\cdot \sin\Paren{2\cdot \frac x 2 } = 0\cdot \sin\Paren{1\cdot \frac x 2 } + 1\cdot \sin\Paren{2\cdot \frac x 2 } + 0\cdot \sin\Paren{3\cdot \frac x 2 } + \ldots . \]

To jest rozwinięcie w szereg Fouriera!

Stąd wniosek, że:

\[ b_1 = 0, \quad b_2 = 1, \quad b_3 = 0, \ldots \qlq b_2 = 1 \ \wedge \ \Forall{n\in \nn\setminus\Set{2}} b_n = 0 \, . \]
Jeśli \( \quad \ell = \pi\), \(\quad\) to \( \quad \dfrac {n\pi x}{\ell} = \dfrac {n\pi x}{\pi} = n\cdot x . \quad \) Zapiszmy funkcję w postaci

\[ f(x) = 1\cdot \sin\Paren{1\cdot x } = 1\cdot \sin\Paren{1\cdot x } + 0\cdot \sin\Paren{2\cdot x } + 0\cdot \sin\Paren{3\cdot x } + \ldots . \]

To jest rozwinięcie w szereg Fouriera!

Stąd wniosek, że:

\[ b_1 = 1, \quad b_2 = 0, \quad b_3 = 0, \ldots \qlq b_1 = 1 \ \wedge \ \Forall{n\in \nn_2} b_n = 0 \, . \]
Jeśli \( \quad \ell = \dfrac \pi 2\), \(\quad\) to \( \quad \dfrac {n\pi x}{\ell} = \dfrac {n\pi x}{\frac \pi 2} = n\cdot 2x . \quad \) Tym razem musimy policzyć całki:

\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned}b_n &= \frac 2 \ell \IntDef{0}{\ell}{f(x)\cdot \sin \frac{n\pi x}{\ell}}= \frac{4}{\pi} \IntDef{0}{ \frac{1}{2} \, \pi }{ \sin\left(2 \, n x\right) \sin\left(x\right) } \\ &= \frac{4}{\pi} \IntDef{0}{\frac{1}{2}\pi}{\frac{1}{2} \Brack{-\cos((2n+1)x) - \cos(-(2n-1)x)} }\\ &= \frac{4}{\pi} \Paren{ -\frac{\sin\left({\left(2 \, n + 1\right)} x\right)}{2 \, {\left(2 \, n + 1\right)}} - \frac{\sin\left(-{\left(2 \, n - 1\right)} x\right)}{2 \, {\left(2 \, n - 1\right)}} }\Big|_{0}^{ \frac{1}{2} \, \pi } \\ &= \frac{4}{\pi} \Paren{ -\frac{\sin\left(\frac{1}{2} \, \pi + \pi n\right)}{2 \, {\left(2 \, n + 1\right)}} - \frac{\sin\left(\frac{1}{2} \, \pi - \pi n\right)}{2 \, {\left(2 \, n - 1\right)}} - 0 } \\ &= \frac{4}{\pi} \Paren{ -\frac{\left(-1\right)^{n}}{2 \, {\left(2 \, n + 1\right)}} - \frac{\left(-1\right)^{n}}{2 \, {\left(2 \, n - 1\right)}} } = \frac{4}{\pi} \Paren{ -\frac{2 \, \left(-1\right)^{n} n}{4 \, n^{2} - 1} } = \frac{8n \cdot (-1)^{n+1}}{\pi \cdot \Paren{4n^2 - 1}} .\end{aligned}\end{split}\]

Zatem

\[ \sin(x) = \Series \frac {8 n \cdot (-1)^{n+1}} {\pi\cdot\Paren{4 n^2 - 1}} \ifcdot \sin \Paren{2n x} \quad \text{dla } x \in \Brack{-\tfrac \pi 2, \tfrac \pi 2} . \]

Ćwiczenie 15.3

Rozwińmy w szereg Fouriera funkcję

\[ f(x) = 1 + 3\sin 2 x\cdot \cos 3x \]

w przedziale \([-\pi, \pi]\) i podajmy wartości całek:

\[ I_1 = \frac 1 \pi \IntDef{-\pi}{\pi} {f(x) \cos 5x}, \quad I_2 = \frac 2 \pi \IntDef{-\pi}{\pi} {f(x) \sin 5x}. \]

Informacja

Pomoże rozwiązać Ćw. 16.2, Ćw. 16.6.

Rozwiązanie

Pozostawiam czytelnikowi sprawdzenie warunków Dirichleta.

Jeśli \( \quad \ell = \pi\), \(\quad\) to \( \quad \dfrac {n\pi x}{\ell} = \dfrac {n\pi x}{\pi} = n\cdot x . \quad \) Korzystając ze wzorów redukcyjnych zapiszmy funkcję w postaci

\[ f(x) = 1 + 3\sin 2 x\cdot \cos 3x = 1 + 3\cdot \tfrac 1 2\Paren{\sin (2-3) x + \sin(2+3)x} = 1 - \tfrac 3 2 \sin \Paren{1\cdot x} + \tfrac 3 2 \sin \Paren{5\cdot x} . \]

To jest rozwinięcie w szereg Fouriera.

Stąd wniosek, że:

\[\begin{split} \frac {a_0} 2 = 1 \ \imply \ a_0 = 2 \quad & \wedge \quad \Forall{n\in \nn} a_n = 0 \, , \\ b_1 = -\tfrac 3 2, \quad b_5 = \tfrac 3 2, \quad & \wedge \quad \Forall{n\in \nn\setminus\Set{1,5}} b_n = 0 \, . \end{split}\]

W celu obliczenia całek zauważamy, że:

\[\begin{split} \begin{aligned} I_1 & = \frac 1 \pi \IntDef{-\pi}{\pi} {f(x) \cos 5x} = a_5 = 0, \\ I_2 & = 2\cdot \frac 1 \pi \IntDef{-\pi}{\pi} {f(x) \sin 5x} = 2 \cdot b_5 = 3. \end{aligned} \end{split}\]

Ćwiczenie 15.4

Niech \(A\in \rr \).

Rozwińmy w szereg Fouriera funkcję \(f :[-\pi,\pi] \to \rr\),

\[\begin{split} f(x) =\begin{cases} A\cdot \sgn x & \text{dla } x \in (-\pi, \pi) \\ 0 & \text{dla } x \in \Set{-\pi, \pi} \end{cases} . \end{split}\]

Informacja

Pomoże rozwiązać Ćw. 16.3, Ćw. 16.5, Ćw. 16.7, Ćw. 16.9.

Rozwiązanie

Pozostawiam czytelnikowi sprawdzenie warunków Dirichleta.

Ponieważ funkcja jest nieparzysta, to \( \quad \Forall{n \in \nn_0} a_n = 0. \)

Pozostaje obliczenie współczynników (dla \(n\in \nn\))

\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned}b_n &= \frac 2 \ell \IntDef{0}{\ell}{f(x)\cdot \sin \frac{n\pi x}{\ell}}= \frac{2}{\pi} \IntDef{0}{ \pi }{ A \sin\left(n x\right) } \\ &= \frac{2}{\pi} \Paren{ -\frac{A \cos\left(n x\right)}{n} }\Big|_{0}^{ \pi } = \frac{2}{\pi} \Paren{ -\frac{A \cos\left(\pi n\right) - A}{n} } = -\frac{2A}{n\pi} \Paren{(-1)^n - 1} .\end{aligned}\end{split}\]

Zauważmy, że jedynie nieparzyste wyrazy są niezerowe:

\[ \Forall{k \in \nn} b_{2k} = 0\, , \quad b_{2k-1} = \frac {4A} {(2k-1)\pi}\, . \]

Zatem

\[ f(x) = \Series[k]\frac {4A} {(2k-1) \pi} \ifcdot \sin \Paren{(2k-1) x} \quad \text{dla } x \in \Brack{- \pi,\, \pi } . \]

Przyjmując \(A = \tfrac \pi 2\) otrzymamy następujące wykresy:

15.5. Rozwinięcie Fouriera rozszerzenia do funkcji okresowej#

Narration

Jeżeli funkcja \(f:(a, a+2\ell) \to \rr\) spełnia 1. i 2. warunek Dirichleta w przedziale \((a, a+2\ell)\), to można ją przedłużyć do funkcji okresowej \(\tilde f: \rr \to \rr\) o okresie \(2\ell\), tak aby:

dla każdego \(x \in (a, a+2\ell)\) zachodziło \(\tilde f(x) = f(x)\) (tzn. \(\tilde f|_{(a, a+2\ell)} = f\))
funkcja \(\tilde f\) spełniała wszystkie trzy warunki Dirichleta w przedziale \([-\ell, \ell]\).

Funkcję \(\tilde f\) można rozwinąć w szereg Fouriera \(S_{\tilde f}\) w przedziale \([-\ell, \ell]\).

Z twierdzenia Dirichleta i warunku 1. wynika, że \(f(x) = \tilde f(x) = S_{\tilde f}(x)\) dla każdego \(x \in (a, a+2\ell)\).

W ten sposób rozwinęliśmy funkcję \(f\) w szereg Fouriera w przedziale \((a, a+2\ell)\).

Ćwiczenie 15.5

Zgodnie z powyższą procedurą rozwińmy w szereg Fouriera funkcję

\[ f:(0,2\pi) \to \rr, \quad f(x) = x . \]

Informacja

Pomoże rozwiązać Ćw. 16.4, Ćw. 16.8.

Rozwiązanie

Dla danej funkcji mamy:

\[ a = 0, \quad \ell = \pi. \]

Przedłużamy ją do funkcji okresowej jak pokazano na rysunku.

Funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta, więc musimy obliczyć wszystkie współczynniki.

Będziemy potrzebować dwóch całek nieoznaczonych:

\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} \\int x \cos(nx)\, dx & = \renewcommand{\log}{\ln}\WaveBrack{f( x ) & = x & g'( x ) & = \cos\left(n x\right) \\ f'( x ) & = 1 & g( x ) & = \frac{\sin\left(n x\right)}{n} } \\\\ & = x \cdot \frac{\sin\left(n x\right)}{n} - \Int[ x ]{ 1 \cdot \frac{\sin\left(n x\right)}{n} } \\ & = \frac{n x \sin\left(n x\right) + \cos\left(n x\right)}{n^{2}} + C \end{aligned}\end{split}\]

\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} \begin{aligned} \int x \sin(nx)\, dx & = \renewcommand{\log}{\ln}\WaveBrack{f( x ) & = x & g'( x ) & = \sin\left(n x\right) \\ f'( x ) & = 1 & g( x ) & = -\frac{\cos\left(n x\right)}{n} } \\\\ & = x \cdot \Paren{-\frac{\cos\left(n x\right)}{n}} - \Int[ x ]{ 1 \cdot \Paren{-\frac{\cos\left(n x\right)}{n}} } \\ & = -\frac{n x \cos\left(n x\right) - \sin\left(n x\right)}{n^{2}} + C\ . \end{aligned} \end{aligned}\end{split}\]

Korzystając z tych obliczeń otrzymujemy:

\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned}a_n &= \frac 1 \ell \IntDef{-\ell}{\ell}{f(x)\cdot \cos \frac{n\pi x}{\ell}}= \frac 1 \ell \IntDef{0}{2\ell}{f(x)\cdot \cos \frac{n\pi x}{\ell}}\\ &= \frac{1}{\pi} \IntDef{ 0 }{ 2 \, \pi }{ x \cos\left(n x\right) } = \frac{1}{\pi} \Paren{ \frac{n x \sin\left(n x\right) + \cos\left(n x\right)}{n^{2}} }\Big|_{ 0 }^{ 2 \, \pi } \\ &= \frac{1}{\pi} \Paren{ \frac{2 \, \pi n \sin\left(2 \, \pi n\right) + \cos\left(2 \, \pi n\right)}{n^{2}} - \frac{1}{n^{2}} } = 0 \quad \text{dla } n\in \nn\\ a_0 &= \frac{1}{\pi} \IntDef{ 0 }{ 2 \, \pi }{ x } = \frac{1}{\pi} \Paren{ \frac{1}{2} \, x^{2} }\Big|_{ 0 }^{ 2 \, \pi } = \frac{1}{\pi} \Paren{ 2 \, \pi^{2} - 0 } = 2\pi\\ b_n &= \frac 1 \ell \IntDef{-\ell}{\ell}{f(x)\cdot \sin \frac{n\pi x}{\ell}}= \frac 1 \ell \IntDef{0}{2\ell}{f(x)\cdot \sin \frac{n\pi x}{\ell}}\\ &= \frac{1}{\pi} \IntDef{ 0 }{ 2 \, \pi }{ x \sin\left(n x\right) } = \frac{1}{\pi} \Paren{ -\frac{n x \cos\left(n x\right) - \sin\left(n x\right)}{n^{2}} }\Big|_{ 0 }^{ 2 \, \pi } \\ &= \frac{1}{\pi} \Paren{ -\frac{2 \, \pi n \cos\left(2 \, \pi n\right) - \sin\left(2 \, \pi n\right)}{n^{2}} - 0 } = -\frac{2}{n} .\end{aligned}\end{split}\]

Podsumowując,

\[ f(x) = \frac {2\pi} 2 + \Series -\frac {2} {n} \ifcdot \sin n x \quad \text{dla } x \in \Paren{0,\, 2\pi } . \]