14. Szeregi liczbowe#
14.1. Zadania na zajęcia#
Ćwiczenie 14.6
Oblicz sumę szeregu:
\(\displaystyle\Series \displaystyle\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \)
\(\displaystyle\Series \displaystyle \frac{n-1}{n!} .\)
Informacja
Warto spojrzeć na Ćw. 13.2.
Ćwiczenie 14.7
Zbadaj zbieżność szeregu:
\(\displaystyle \Series \left[\arccos\left(\frac{n}{2n+1}\right)-\frac{\pi}{4}\right] \)
\(\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty} \displaystyle\frac{\ln n}{n} \)
\(\displaystyle \Series \sin^2 \frac{1}{n} \)
\(\displaystyle \Series \displaystyle\frac{\arcsin\left(\frac{n^2}{n^3+1}\right)}{3^n}\)
\(\displaystyle \Series \displaystyle\frac{(n+1)!\cdot n^n}{(2n)!\cdot 2^n}\)
\(\displaystyle \Series \displaystyle\frac{3^n\cdot n^{n^2}}{(n+1)^{n^2}} \)
\(\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \displaystyle\frac{\ln n}{n^2}.\)
Ćwiczenie 14.8
Zbadaj zbieżność i zbieżność bezwzględną szeregu:
\(\displaystyle \Series (-1)^{n+1}\sin \displaystyle\frac{1}{n} \)
\(\displaystyle \Series \frac{2\sin\Paren{\sqrt n +n^2}}{\sqrt n +n^2} \)
\(\displaystyle \Series (-1)^{n+1}\left(\displaystyle\frac{2n+1}{3n+1}\right)^n .\)
14.2. Zadania domowe#
Ćwiczenie 14.9
Zbadaj zbieżność szeregu:
\(\displaystyle \Series \displaystyle\frac{n+1}{n^2+4}\)
\(\displaystyle \Series \displaystyle\arctan\frac{n+1}{n-5}\)
\(\displaystyle \Series \displaystyle\frac{n+1}{(n+2)\cdot 3^n}\)
\(\displaystyle \Series \displaystyle\frac{4^n}{(4n-1)\cdot 3^n}\)
\(\displaystyle \Series \displaystyle\frac{\Paren{n+2}^3\cdot n!}{n^n}\)
\(\displaystyle \Series \displaystyle\frac{4^n \cdot n^{n^2}}{(n+1)^{n^2}}\)
\(\displaystyle \Series \displaystyle\frac{(n+1)^{n^2}}{3^n \cdot n^{n^2}}\)
\(\displaystyle \Series \displaystyle\frac{n!\cdot (n+1)^n}{\Paren{2n}!\cdot 3^n}\)
\(\displaystyle \Series \displaystyle\frac{2^n+3^n}{3^n+4^n}.\)
Ćwiczenie 14.10
Zbadaj zbieżność i zbieżność bezwzględną szeregu:
\(\displaystyle \Series (-1)^{n+1}\cos \displaystyle\frac{1}{n} \)
\(\displaystyle \Series \frac{\Paren{-5}^n}{5^n + 3^n} \)
\(\displaystyle \Series (-1)^{n+1}\left(\displaystyle\frac{n+1}{4n+1}\right)^n .\)