Równania różniczkowe II

Zawartość

12. Równania różniczkowe II#

12.1. Jednorodne równania liniowe#

Narration

Niech $n\in \nn$, $a,b\in\rr$, $a < b$ i niech $p_0, \ldots, p_{n-1} : (a,b) \to \rr$ będą funkcjami ciągłymi.

Definicja 12.1

Równanie różniczkowe, które można doprowadzić do postaci

(12.1)#\[\begin{split}\begin{aligned} u^{(n)} + p_{n-1}(t)\cdot u^{(n-1)} + \ldots \\ \quad + p_1(t)\cdot \dot u + p_0(t)\cdot u = 0 \end{aligned}\end{split}\]

nazywamy jednorodnym równaniem różniczkowym liniowym rzędu $n$.

Stwierdzenie 12.1

Jeśli funkcje $u_1,\ldots, u_k : (a,b) \to \rr$, $k\in \nn$, są rozwiązaniami równania (12.1), to również ich dowolna kombinacja liniowa ze współczynnikami $C_1, \ldots, C_k \in \rr$, czyli

\[u = \sum_{i=1}^k C_i\cdot u_i = C_1\cdot u_1 + \ldots + C_k \cdot u_k,\]

jest rozwiązaniem tego równania.

Definicja 12.2

Układ $u_1,\ldots, u_n$ – $n$ całek równania (12.1) – nazywamy układem podstawowym całek lub układem fundamentalnym całek tego równania, jeśli dla każdego $t\in (a,b)$ wrońskian

\[\begin{split} W(t) = \Det{ u_1(t) & u_2(t) & \cdots & u_n(t) \\ \dot u_1(t) & \dot u_2(t) & \cdots & \dot u_n(t) \\ \cdots & & & \cdots \\ u_1^{(n-1)}(t) & u_2^{(n-1)}(t) & \cdots & u_n^{(n-1)}(t) } \neq 0 \end{split}\]

Przykład 12.1

Niech $\omega > 0$.

Układem podstawowym całek równania $ \quad \ddot u + \omega^2 \cdot u = 0 \quad $ są funkcje

\[u_1(t) = \cos \omega t, \quad u_2(t) = \sin \omega t .\]

Istotnie, obie funkcje są całkami tego równania:

\[\begin{split} \dot u_1(t) = -\omega\sin \omega t, \quad \ddot u_1(t) = -\omega^2\cos \omega t & \Quad{\imply} \ddot u_1 + \omega^2 \cdot u_1 = -\omega^2\cos \omega t + \omega^2\cdot \cos \omega t = 0 \\ \dot u_2(t) = \omega\cos \omega t, \quad \ddot u_2(t) = -\omega^2\sin \omega t & \Quad{\imply} \ddot u_2 + \omega^2 \cdot u_2 = -\omega^2\sin \omega t + \omega^2\cdot \sin \omega t = 0 . \end{split}\]

Ponadto wrońskian jest równy

\[\begin{split} W(t) = \Det{ u_1(t) & u_2(t) \\ \dot u_1(t) & \dot u_2(t) } = \Det{ \cos \omega t & \sin \omega t \\ -\omega \sin \omega t & \omega \cos \omega t \\ } =\omega\Paren{\cos^2 \omega t + \sin^2 \omega t} = \omega \neq 0. \end{split}\]

Twierdzenie 12.2

Jeśli $u_1,\ldots, u_n : (a,b)\to\rr$ jest układem podstawowym całek równania (12.1), to rodzina

\[ \Solutions{} = \Set{ \sum_{i=1}^n C_i\cdot u_i = C_1\cdot u_1 + \ldots + C_n \cdot u_n : C_1, \ldots, C_n \in \rr } \]

jest rozwiązaniem ogólnym tego równania, czyli dla każdego warunku początkowego Cauchy’ego:

\[ u(t_0) = u_0 \in \rr,\quad \dot u(t_0) = u_1 \in \rr, \ldots,\quad u^{(n-1)}(t_0) = u_{n-1} \in \rr, \]

istnieje całka szczególna $u\in \Solutions{}$ spełniająca ten warunek początkowy.

Przykład 12.2

Niech $\omega > 0$.

Rozwiązanie ogólne równania $ \quad \ddot u + \omega^2 \cdot u = 0 \quad $ ma postać

\[ u(t) = C_1 \cos \omega t + C_2 \sin \omega t, \quad C_1, C_2 \in \rr \]

czyli jest harmoniką o pulsacji $\omega$.

Dla warunku początkowego Cauchy’ego: $ \quad u(0) = 1, \dot u(0) = 0 \quad $ rozwiązanie znajdziemy różniczkując rozwiązanie ogólne:

\[\dot u(t) = - C_1 \omega \sin \omega t + C_2\, \omega \cos \omega t,\]

i rozwiązując układ równań liniowych na $C_1, C_2 \in \rr$:

\[\begin{split} \Uklad{ u(0) = C_1 \cos 0 + C_2 \sin 0 = 1 \\ \dot u(0) = - C_1 \omega \sin 0 + C_2\, \omega \cos 0 = 0 } \Leftrightarrow \quad \Uklad{ C_1 = 1 \\ C_2 = 0 } . \end{split}\]

Zatem rozwiązanie szczególne to $ \quad u(t) = \cos \omega t . $

12.2. Jednorodne równania liniowe o stałych współczynnikach#

Narration

Niech $p_0, \ldots, p_{n-1} \in \rr$.

Definicja 12.3

Równanie różniczkowe, które można doprowadzić do postaci

(12.2)#\[\begin{split}\begin{aligned} u^{(n)} + p_{n-1}\cdot u^{(n-1)} + \ldots \\ \quad + p_1\cdot \dot u + p_0\cdot u = 0 \end{aligned}\end{split}\]

nazywamy jednorodnym równaniem różniczkowym liniowym rzędu $n$ o stałych współczynnikach.

Definicja 12.4

Wielomian

\[ w(\lambda) = \lambda^n + p_{n-1}\lambda^{n-1} + \ldots + p_1 \lambda + p_0 \]

nazywamy wielomianem charakterystycznym równania (12.2).

Narration

Naszym celem jest znalezienie układu podstawowego całek takiego równania.

Rozwiązania poszukujemy w postaci funkcji

\[u(t) = e^{\lambda\cdot t}.\]

Zauważmy, że

\[ \Diff[t^k]{^k u} (t) = \Diff[t^k]{^k} e^{\lambda\cdot t} = \lambda^k\cdot e^{\lambda\cdot t}. \]

Jeśli $u(t)$ spełnia równanie (12.2), to

\[\begin{split} u^{(n)} + p_{n-1}\cdot u^{(n-1)} + \ldots \\ \quad + p_1\cdot \dot u + p_0\cdot u \\ & = \lambda^n\cdot e^{\lambda\cdot t} + p_{n-1}\lambda^{n-1}\cdot e^{\lambda\cdot t} \\ & \quad + \ldots + p_1 \lambda\cdot e^{\lambda\cdot t} + p_0\cdot e^{\lambda\cdot t} \\ & = (\lambda^n + p_{n-1}\lambda^{n-1} + \ldots + p_1 \lambda + p_0)\cdot e^{\lambda\cdot t} = 0 \end{split}\]

Ponieważ $e^{\lambda\cdot t} \neq 0$, to musi zachodzić $\lambda^n + p_{n-1}\lambda^{n-1} + \ldots + p_1 \lambda + p_0 = 0$.

To oznacza, że jeśli $\lambda_1\in\rr$ jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego równania (12.2), to powyższa równość spełniona jest tożsamościowo, więc

\[ u_1:\rr \to \rr, \quad u_1(t) = e^{\lambda_1\cdot t}, \]

jest rozwiązaniem równania (12.2).

Niestety, to rozumowanie nie wyczerpuje tematu, gdyż pierwiastki wielomianu nie muszą być rzeczywiste i mogą być wielokrotne.

Dlatego rozpatrzymy różne przypadki poczynając od najprostrzych, a kończąc na postaci ogólnej.

12.2.1. Wielomian charakterystyczny ma różne pierwiastki rzeczywiste#

Narration

Jeśli wielomian charakterystyczny równania (12.2) ma jednokrotne pierwiastki rzeczywiste równe $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$, to funkcje $u_1,\ldots, u_n:\rr \to \rr$,

\[ u_1(t) = e^{\lambda_1\cdot t}, u_2(t) = e^{\lambda_2\cdot t}, \ldots, u_n(t) = e^{\lambda_n\cdot t}, \]

są układem podstawowym całek tego równania różniczkowego.

Innymi słowy, rozwiązanie dowolnego zagadnienia Cauchy’ego można zapisać w postaci

\[ u(t) = C_1\cdot e^{\lambda_1\cdot t} + C_2\cdot e^{\lambda_2\cdot t} + \ldots + C_{n}\cdot e^{\lambda_n\cdot t}, \]

gdzie $C_1, \ldots, C_n \in \rr$.

Ćwiczenie 12.1

Znajdźmy rozwiązanie równania: $ \quad \ddot u -3 \dot u = 0$,$\quad u(0) = \dot u(0) = 1$.

Informacja

Pomoże rozwiązać Ćw. 13.15, Ćw. 13.17.

Rozwiązanie

Wielomian charakterystyczny tego równania to

\[w(\lambda) = \lambda^2 - 3\lambda = \lambda\Paren{\lambda - 3}.\]

Zatem pierwiastki to: $ \quad 0,\ 3$, $\quad$ a zatem całka ogólna ma postać

\[ u(t) = C_1\, e^{0 t} + C_2\, e^{3 t} = C_1 + C_2\, e^{3 t}, \quad C_1, C_2 \in \rr. \]
W celu znalezienia rozwiązania szczególnego obliczamy pochodną $ \dot u(t) = 3 C_2\, e^{3 t} $ i rozwiązujemy układ równań:

\[\begin{split} \Uklad{ u(0) = C_1 + C_2\, e^{3\cdot 0} = 1 \\ \dot u(0) = 3 C_2\, e^{3 \cdot 0} = 1 } \Leftrightarrow \quad \Uklad{ C_1 = 1 - C_2 = \frac 2 3 \\ C_2 = \frac 1 3 } . \end{split}\]

Ostateczne rozwiązanie to $ \quad u(t) = \frac 2 3 + \frac 1 3 e^{3t} . $

12.2.2. Wielomian charakterystyczny ma jeden pierwiastek rzeczywisty#

Narration

Jeśli wielomian charakterystyczny równania (12.2) ma jeden, $n$-krotny, pierwiastek rzeczywisty równy $\lambda$, to funkcje $u_1,\ldots, u_n:\rr \to \rr$,

\[ u_1(t) = e^{\lambda\cdot t}, \qquad u_2(t) = t\cdot e^{\lambda\cdot t}, \qquad \ldots, \qquad u_n(t) = t^{n-1}\cdot e^{\lambda \cdot t}, \]

są układem podstawowym całek tego równania różniczkowego.

Innymi słowy, rozwiązanie dowolnego zagadnienia Cauchy’ego można zapisać w postaci

\[ u(t) = v(t)\cdot e^{\lambda\cdot t} = \left(a_0 + a_1\cdot t + \ldots + a_{n-1}\cdot t^{n-1}\right)\cdot e^{\lambda\cdot t}, \]

czyli $v\in\rr_{n-1}[t]$ jest pewnym wielomianem stopnia co najwyżej $n-1$.

Ćwiczenie 12.2

Znajdźmy rozwiązanie równania: $ \quad \ddot u -2 \dot u + u = 0$, $ \quad u(0) = \dot u(0) = 1$.

Informacja

Pomoże rozwiązać Ćw. 13.15.

Rozwiązanie

Wielomian charakterystyczny tego równania to

\[w(\lambda) = \lambda^2 - 2\lambda + 1 = \Paren{\lambda - 1}^2.\]

Zatem mamy dwukrotny pierwiastek $ \quad 1$, $\quad$ a zatem całka ogólna ma postać

\[ u(t) = \Paren{a_0 + a_1 t} e^{t} \quad a_0, a_1 \in \rr. \]
W celu znalezienia rozwiązania szczególnego obliczamy pochodną

\[\dot u(t) = \Paren{a_1 + a_0 + a_1 t} e^{t}\]

i rozwiązujemy układ równań:

\[\begin{split} \Uklad{ u(0) = \Paren{a_0 + a_1 \cdot 0} e^{0} = 1 \\ \dot u(0) = \Paren{a_1 + a_0 + a_1 \cdot 0} e^{0} = 1 } \Leftrightarrow \quad \Uklad{ a_0 = 1 \\ a_1 = 1 - a_0 = 0 } . \end{split}\]

Ostateczne rozwiązanie to $ \quad u(t) = e^{t} . $

12.2.3. Wielomian charakterystyczny ma pierwiastki rzeczywiste#

Narration

Jeśli wielomian charakterystyczny równania (12.2) ma $k\in\nn$ różnych pierwiastków rzeczywistych $\lambda_1,\ldots, \lambda_k \in \rr$, krotności odpowiednio $r_1,\ldots, r_k \in \nn$, to rozwiązanie dowolnego zagadnienia Cauchy’ego można zapisać w postaci

\[ u(t) = v_1(t)\cdot e^{\lambda_1\cdot t} + v_2(t)\cdot e^{\lambda_2\cdot t} + \ldots + v_k(t)\cdot e^{\lambda_k\cdot t}, \]

gdzie $v_1\in\rr_{r_1-1}[t], v_2\in\rr_{r_2-1}[t], \ldots v_k\in\rr_{r_k-1}[t]$.

Ćwiczenie 12.3

Znajdźmy rozwiązanie równania: $ \quad \dddot u + \ddot u = 0$,

$ \quad u(0) = \dot u(0) = \ddot u(0) = 1$.

Rozwiązanie

Wielomian charakterystyczny tego równania to

\[w(\lambda) = \lambda^3 + \lambda^2 = \lambda^2\Paren{\lambda + 1}.\]

Zatem mamy pierwiastki $ \quad -1,\, 0 \quad $ krotności odpowiednio $ \quad 1, \, 2$, $\quad$ a zatem całka ogólna ma postać

\[ u(t) = \Paren{a_0 + a_1 t} e^{0\cdot t} + b_0\, e^{-t} = \Paren{a_0 + a_1 t} + b_0\, e^{-t}, \quad a_0, a_1, b_0 \in \rr. \]
W celu znalezienia rozwiązania szczególnego obliczamy pochodne:

\[ \begin{aligned} \dot u(t) & = a_1 - b_0\, e^{-t} , & \ddot u(t) & = b_0\, e^{-t} \end{aligned} \]

i rozwiązujemy układ równań:

\[\begin{split} \Uklad{ u(0) = \Paren{a_0 + a_1 \cdot 0} + b_0\, e^{0} = 1 \\ \dot u(0) = a_1 - b_0\, e^{0} = 1 \\ \ddot u(0) = b_0\, e^{0} = 1 } \Leftrightarrow \quad \Uklad{ a_0 = 1 - b_0 = 0 \\ a_1 = 1 + b_0 = 2 \\ b_0 = 1 } . \end{split}\]

Ostateczne rozwiązanie to $ \quad u(t) = 2t + e^{-t} . $

12.2.4. Wielomian charakterystyczny stopnia 2 ma pierwiastek nierzeczywisty#

Narration

Załóżmy, że $n=2$, czyli rozpatrujemy równanie rzędu $2$.

Jeśli wielomian charakterystyczny równania (12.2) ma pierwiastek nierzeczywisty:

\[\lambda = \alpha + \omega j,\quad \alpha\in\rr,\, \omega\in\rr\setminus\Set 0,\]

(a więc drugim pierwiastkiem jest $\overline\lambda = \alpha - \omega j$) to funkcje $u_1,u_2:\rr \to \rr$,

\[ u_1(t) = \cos \omega t \cdot e^{\alpha\cdot t}, \qquad u_2(t) = \sin \omega t \cdot e^{\alpha\cdot t}, \]

są układem podstawowym całek tego równania różniczkowego.

Innymi słowy, rozwiązanie dowolnego zagadnienia Cauchy’ego można zapisać w postaci harmoniki o pulsacji $\omega$ pomnożonej przez funkcję wykładniczą

\[u(t) =\left(a\cos \omega t + b\sin \omega t\right)\cdot e^{\alpha\cdot t},\]

gdzie $a,b\in\rr$.

Ćwiczenie 12.4

Znajdźmy rozwiązanie zagadnienia: $ \quad \ddot u - 2 \dot u + 5u = 0$, $ \quad u(0) = \dot u(0) = 1$.

Informacja

Pomoże rozwiązać Ćw. 13.15, Ćw. 13.17, Ćw. 13.18.

Rozwiązanie

Wielomian charakterystyczny tego równania to

\[w(\lambda) = \lambda^2 -2 \lambda + 5.\]

Wyróżnik to $\Delta = 4 - 4\cdot 5 = -4^2$, więc jego pierwiastki to $ \quad \lambda_+ = \frac {2 + 4j} {2} = 1 + 2j,\, \lambda_- = 1 - 2j $, $\quad$ a zatem $ \quad \alpha = 1,\, \omega = 2 \quad $ i całka ogólna ma postać

\[ u(t) = \Paren{a\cos 2 t + b\sin 2 t} \cdot e^{t} \quad a, b \in \rr. \]
W celu znalezienia rozwiązania szczególnego obliczamy pochodną

\[\begin{split} \dot u(t) & = \Paren{-2a\sin 2 t + 2b\cos 2 t} \cdot e^{t} + \Paren{a\cos 2 t + b\sin 2 t} \cdot e^{t} \\ & = \Paren{(a+2b)\cos 2 t + (b-2a)\sin 2 t} \cdot e^{t} \end{split}\]

i rozwiązujemy układ równań:

\[\begin{split} \Uklad{ u(0) = \Paren{a\cos 0 + b\sin 0} \cdot e^{0} = 1 \\ \dot u(0) = \Paren{(a+2b)\cos 0 + (b-2a)\sin 0} \cdot e^{0} = 1 \\ } \Leftrightarrow \quad \Uklad{ a = 1 \\ b = \frac 1 2 \Paren{1 - a} = 0 } . \end{split}\]

Ostateczne rozwiązanie to $ \quad u(t) = \cos 2t \cdot e^{t} . $

12.2.5. Wielomian charakterystyczny ma dokładnie 2 pierwiastki nierzeczywiste#

Narration

Jeśli wielomian charakterystyczny równania (12.2) ma $\frac n 2$-krotny pierwiastek nierzeczywisty $\lambda = \alpha + \omega j$, $\omega\neq 0$, (a więc drugim pierwiastkiem jest $\overline\lambda = \alpha - \omega j$) rozwiązanie dowolnego zagadnienia Cauchy’ego można zapisać w postaci

\[u(t) =\left(v(t)\cdot \cos \omega t + w(t)\cdot\sin \omega t\right)\cdot e^{\alpha\cdot t},\]

gdzie $v,w\in\rr_{\frac n 2 -1}[t]$.

12.2.6. Wielomian charakterystyczny ma dowolne pierwiastki#

Narration

Jeśli wielomian charakterystyczny równania (12.2) ma zarówno pierwiastki rzeczywiste i nierzeczywiste niekoniecznie jednokrotne, to rozwiązanie dowolnego zagadnienia Cauchy’ego jest kombinacją liniową funkcji:

$v(t)\cdot e^{\lambda\cdot t}$, gdzie $v\in \rr_{r-1}[t]$, dla każdego pierwiastka rzeczywistego $\lambda\in\rr$ krotności $r\in\nn$
$\left(v(t)\cdot \cos \omega t + w(t)\cdot\sin \omega t\right)\cdot e^{\alpha\cdot t}$, gdzie $v,w\in \rr_{r-1}[t]$, dla każdej pary pierwiastków nierzeczywistych $\alpha + \omega j, \alpha - \omega j\in\cc$, występujących w krotności $r\in\nn$.

12.3. Niejednorodne równania liniowe#

Narration

Niech $n\in \nn$, $a,b\in\rr$, $a < b$ i niech $p_0, \ldots, p_{n-1}, f : (a,b) \to \rr$ będą funkcjami ciągłymi.

Definicja 12.5

Równanie różniczkowe, które można doprowadzić do postaci

(12.3)#\[\begin{split}\begin{aligned} u^{(n)} + p_{n-1}(t)\cdot u^{(n-1)} + \ldots \\ \quad + p_1(t)\cdot \dot u + p_0(t)\cdot u = f(t) \end{aligned}\end{split}\]

nazywamy niejednorodnym równaniem różniczkowym liniowym rzędu $n$.

Twierdzenie 12.3

Jeśli

$u_0: (a,b)\to \rr$ jest pewną (dowolnie wybraną) całką szczególną równania (12.3),
$u_1,\ldots, u_n : (a,b)\to\rr$ jest układem podstawowym całek równania jednorodnego

\[\begin{split}u^{(n)} + p_{n-1}(t)\cdot u^{(n-1)} + \ldots \\ \quad + p_1(t)\cdot \dot u + p_0(t)\cdot u = 0,\end{split}\]

to rodzina

\[ \Solutions{} = \Set{ u_0 + \sum_{i=1}^n C_i\cdot u_i = u_0 + C_1\cdot u_1 + \ldots + C_n \cdot u_n : C_1, \ldots, C_n \in \rr } \]

jest rozwiązaniem ogólnym równania niejednorodnego (12.3), czyli dla każdego warunku początkowego Cauchy’ego: $$ u(t_0) = u_0 \in \rr,\quad \dot u(t_0) = u_1 \in \rr, \ldots,\quad u^{(n-1)}(t_0) = u_{n-1} \in \rr, $$ istnieje całka szczególna $u\in \Solutions{}$ spełniająca ten warunek początkowy.

Przykład 12.3

Przypomnijmy, że na poprzednim wykładzie podaliśmy rozwiązanie równania liniowego pierwszego rzędu

\[\Diff[t]{u} + p(t)\cdot u = f(t),\]

które jest szczególnym przypadkiem niejednorodnego równania liniowego (12.3).

Rozwiązanie miało postać:

\[ u(t) = C(t)\cdot e^{- \Int[t]{ p(t) }}, \qquad \text{gdzie } C(t) = \Int[t]{ f(t)\cdot e^{\Int[t]{ p(t) }} }. \]

Ponieważ całka nieoznaczona jest rodziną funkcji różniących się o stałą $C_1\in\rr$, to możemy napisać:

\[\begin{split} u(t) & = \left(\Int[t]{ f(t)\cdot e^{\Int[t]{ p(t) }} } + C_1\right)\cdot e^{- \Int[t]{ p(t) }} \\ & = \underbrace{e^{- \Int[t]{ p(t) }}\cdot\Int[t]{ f(t)\cdot e^{\Int[t]{ p(t) }} }}_{u_0(t)} + C_1\cdot \underbrace{e^{- \Int[t]{ p(t) }}}_{u_1(t)}. \end{split}\]

Ćwiczenie 12.5

Sprawdźmy, że $u_0(t) = e^{\omega t}$ jest rozwiązaniem równania $\ddot u + \omega^2 \cdot u = 2\omega^2\, e^{\omega t}.$

Zapiszmy jego ogólne rozwiązanie oraz znajdźmy całkę pierwszą dla warunku Cauchy’ego: $u(0)= \dot u(0) = 1$.

Informacja

Pomoże rozwiązać Ćw. 13.12, Ćw. 13.16.

Rozwiązanie

Obliczamy pochodne $u_0$: $ \quad \dot u_0(t) = \omega\, e^{\omega t},\, \ddot u_0(t) = \omega^2\, e^{\omega t} \quad $ i sprawdzamy, że $u_0$ spełnia równanie:

\[ \ddot u(t) + \omega^2 \cdot u(t) = \omega^2 \, e^{\omega t} + \omega^2\cdot e^{\omega t} = 2\omega^2\, e^{\omega t} . \]
Potrzebujemy rozwiązania ogólnego równania jednorodnego $ \quad \ddot u + \omega^2 \cdot u = 0 . \quad $ Wielomian charakterystyczny tego równania to

\[ w(\lambda) = \lambda^2 + \omega^2 = \lambda^2 - \Paren{\omega j}^2 = \Paren{\lambda - \omega j} \Paren{\lambda + \omega j}, \]

więc jego pierwiastki to $ \quad \omega j ,\, -\omega j $, $\quad$ a zatem $ \quad \alpha = 0,\, \omega = \omega \quad $ i całka ogólna ma postać

\[ u_J(t) = \Paren{a\cos \omega t + b\sin \omega t} \cdot e^{0\cdot t} = {a\cos \omega t + b\sin \omega t} \quad a, b \in \rr. \]

To oznacza, że rozwiązanie ogólne równania $ \quad \ddot u + \omega^2 \cdot u = 2\omega^2\, e^{\omega t} \quad $ to

\[ u(t) = u_J(t) + u_0(t) = {a\cos \omega t + b\sin \omega t} + e^{\omega t}, \quad a, b \in \rr. \]
W celu znalezienia rozwiązania szczególnego obliczamy pochodą

\[ \dot u(t) = {-a\omega \sin \omega t + b\omega \cos \omega t} + \omega\, e^{\omega t} \]

i rozwiązujemy układ równań:

\[\begin{split} \Uklad{ u(0) = {a\cos 0 + b\sin 0} + e^{0} = 1 \\ \dot u(0) = {a\omega \sin 0 + b\omega \cos 0} + \omega\, e^{0} = 1 \\ } \Leftrightarrow \quad \Uklad{ a = 0 \\ b = \frac 1 \omega \Paren{1 - \omega} = \frac 1 \omega - 1 } . \end{split}\]

Ostateczne rozwiązanie to $ \quad u(t) = {\Paren{\frac 1 \omega - 1}\sin \omega t} + e^{\omega t} . $

Stwierdzenie 12.4

Niech $m\in\nn$ i dla $i= 1,\ldots, m$ niech będzie dana funkcja ciągła $f_i:(a,b)\to \rr$.

Załóżmy, że $u_{0i}:(a,b)\to\rr$ jest całką szczególną równania

\[\begin{split}u^{(n)} + p_{n-1}(t)\cdot u^{(n-1)} + \ldots \\ \quad + p_1(t)\cdot \dot u + p_0(t)\cdot u = f_i(t)\end{split}\]

(tzn. lewa strona równania jest zawsze taka sama) dla $i= 1,\ldots, m$.

Wówczas $u_0: (a,b)\to \rr$,

\[u_0 = u_{01} + u_{02} + \ldots + u_{0m},\]

jest całką szczególną równania

\[\begin{split} u^{(n)} + p_{n-1}(t)\cdot u^{(n-1)} + \ldots \\ \quad + p_1(t)\cdot \dot u + p_0(t)\cdot u = f_1(t) + f_2(t) + \ldots + f_m(t). \end{split}\]

12.4. Niejednorodne równania liniowe o stałych współczynnikach#

Narration

Niech $p_0, \ldots, p_{n-1} \in \rr$ oraz $f: (a,b)\to \rr$.

Definicja 12.6

Równanie różniczkowe, które można doprowadzić do postaci

(12.4)#\[\begin{split}\begin{aligned} u^{(n)} + p_{n-1}\cdot u^{(n-1)} + \ldots \\ \quad + p_1\cdot \dot u + p_0\cdot u = f(t) \end{aligned}\end{split}\]

nazywamy niejednorodnym równaniem różniczkowym liniowym rzędu $n$ o stałych współczynnikach.

Narration

Ponieważ wiemy jak rozwiązać dowolne jednorodne równanie liniowe o stałych współczynnikach, to potrzebujemy jedynie znaleźć rozwiązanie szczególne równania (12.4) przy zadanej funkcji $f$.

Nie dla każdej funkcji $f$ istnieje prosta metoda znajdowania tej całki szczególnej, ale jest klasa funkcji, tzw. quasi-wielomianów, kiedy możemy przewidzieć jakiej postaci ona będzie.

Nazywamy to metodą przewidywań .

Załóżmy, że

\[f(t) = \left(v_1(t)\cdot \cos \OmegaColored t + v_2(t)\cdot\sin \OmegaColored t\right)\cdot e^{\AlphaColored\cdot t} ,\]

gdzie $v_1,v_2\in \rr[t]$.

Wówczas całki szczególnej równania (12.4) szukamy w postaci

\[u_0(t) = t^\Krotnosc \cdot\left(w_1(t)\cdot \cos \OmegaColored t + w_2(t)\cdot\sin \OmegaColored t\right)\cdot e^{\AlphaColored\cdot t},\]

gdzie:

$\Krotnosc \in\nn_0$ jest krotnością pierwiastka $\AlphaColored + \OmegaColored j$ wielomianu charakterystycznego równania

\[\begin{split}u^{(n)} + p_{n-1}\cdot u^{(n-1)} + \ldots \\ \quad + p_1\cdot \dot u + p_0\cdot u = 0\end{split}\]
$w_1, w_2 \in \rr[t]$, przy czym $ \deg w_1 = \deg w_2 = \max \Set{\deg v_1, \deg v_2}. $

Ćwiczenie 12.6

Znajdźmy całkę szczególną równania różniczkowego:

$\ddot u - u = 3t^2 + 1\, $
$\ddot u - u = 4t\cdot e^t\, $
$\ddot u + u = 8\sin t \cdot e^{2t}\, $
$\ddot u + u = 2\sin t - \cos t\, . $

Informacja

Pomoże rozwiązać Ćw. 13.15, Ćw. 13.17, Ćw. 13.18.

Rozwiązanie

Wielomian charakterystyczny równania jednorodnego $ \quad \ddot u - u = 0 \quad $ to

\[ w(\lambda) = \lambda^2 - 1 = \Paren{\lambda - 1}\Paren{\lambda + 1}, \]

więc jego pierwiastki to $ \quad -1,\, 1 $, $\quad$ oba krotności 1. Ponieważ

\[\begin{split} f(t) = 3t^2 + 1 = \Paren{ \Paren{3t^2 + 1}\cos \Paren{{\color{PWRed} 0}\cdot t} + 0\cdot \sin \Paren{{\color{PWRed} 0}\cdot t} }\cdot e^{{\color{PWBlue} 0}\cdot t} \\ \Quad{\imply} {\color{PWBlue} \AlphaColored = 0} ,\, {\color{PWRed} \OmegaColored = 0} , \end{split}\]

to $ \quad \AlphaColored + \OmegaColored j = 0 \quad $ nie jest pierwiastkiem $w$, więc:
- ${\color{Orange} \Krotnosc = 0} \, $
- $\deg w_1 = \deg w_2 = \max \Set{2, -\infty} = 2 \, .$
Rozwiązanie szczególne jest postaci

\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} u_0(t) & = t^{\color{Orange} 0} \cdot\Paren{\Paren{a_0 + a_1 t + a_2 t^2}\cos \Paren{{\color{PWRed} 0}\cdot t} + \Paren{b_0 + b_1 t + b_2 t^2}\cdot \sin \Paren{{\color{PWRed} 0}\cdot t}} \cdot e^{{\color{PWBlue} 0}\cdot t}\\ & = {a_2} t^{2} + {a_1} t + {a_0} , \\ \dot u_0(t) & = 2 \, {a_2} t + {a_1} , \qquad \ddot u_0(t) = 2 \, {a_2} . \end{aligned}\end{split}\]

Wstawiając do równania otrzymujemy:

\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} \ddot u_0 - u_0& = 2 \, {a_2} - \Paren{ {a_2} t^{2} + {a_1} t + {a_0} } = 3t^2 + 1 \\ & \Leftrightarrow \quad \Uklad{ -a_2 = 3 \\ -a_1 = 0 \\ 2a_2 - a_0 = 1 } \Leftrightarrow \quad \Uklad{ a_2 = -3 \\ a_1 = 0 \\ a_0 = 2a_2 - 1 = -7 } . \end{aligned}\end{split}\]

Zatem rozwiązanie szczególne to $ \quad u_0(t) = -3 t^2 - 7 . $
Wielomian charakterystyczny równania jednorodnego $ \quad \ddot u - u = 0 \quad $ to

\[ w(\lambda) = \lambda^2 - 1 = \Paren{\lambda - 1}\Paren{\lambda + 1}, \]

więc jego pierwiastki to $ \quad -1,\, 1 $, $\quad$ oba krotności 1. Ponieważ

\[\begin{split} f(t) = 4t\cdot e^t = \Paren{ {4t}\cdot\cos \Paren{{\color{PWRed} 0}\cdot t} + 0\cdot \sin \Paren{{\color{PWRed} 0}\cdot t} }\cdot e^{{\color{PWBlue} 1}\cdot t} \\ \Quad{\imply} {\color{PWBlue} \AlphaColored = 1} ,\, {\color{PWRed} \OmegaColored = 0} , \end{split}\]

to $ \quad \AlphaColored + \OmegaColored j = 1 \quad $ jest jednokrotnym pierwiastkiem $w$, więc:
- ${\color{Orange} \Krotnosc = 1} \, $
- $\deg w_1 = \deg w_2 = \max \Set{1, -\infty} = 1 \, .$
Rozwiązanie szczególne jest postaci

\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} u_0(t) & = t^{\color{Orange} 1} \cdot\Paren{\Paren{a_0 + a_1 t}\cos \Paren{{\color{PWRed} 0}\cdot t} + \Paren{b_0 + b_1 t}\cdot \sin \Paren{{\color{PWRed} 0}\cdot t}} \cdot e^{{\color{PWBlue} 1}\cdot t}\\ & = {\left({a_1} t^{2} + {a_0} t\right)} e^{t} , \\ \dot u_0(t) & = {\left({a_1} t^{2} + {a_0} t\right)} e^{t} + {\left(2 \, {a_1} t + {a_0}\right)} e^{t} \\ & = {\left({a_1} t^{2} + {\left({a_0} + 2 \, {a_1}\right)} t + {a_0}\right)} e^{t} , \\ \ddot u_0(t) & = {\left({a_1} t^{2} + {\left({a_0} + 2 \, {a_1}\right)} t + {a_0}\right)} e^{t} + {\left(2 \, {a_1} t + {a_0} + 2 \, {a_1}\right)} e^{t} \\ & = {\left({a_1} t^{2} + {\left({a_0} + 4 \, {a_1}\right)} t + 2 \, {a_0} + 2 \, {a_1}\right)} e^{t} . \end{aligned}\end{split}\]

Wstawiając do równania otrzymujemy:

\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} \ddot u_0 - u_0& = {\left({a_1} t^{2} + {\left({a_0} + 4 \, {a_1}\right)} t + 2 \, {a_0} + 2 \, {a_1}\right)} e^{t} - {\left({a_1} t^{2} + {a_0} t\right)} e^{t} \\ & = 2 \, {\left(2 \, {a_1} t + {a_0} + {a_1}\right)} e^{t} = 4t\, e^t \\ & \Leftrightarrow \quad \Uklad{ 4a_1 = 4 \\ 2(a_0 + a_1) = 0 } \Leftrightarrow \quad \Uklad{ a_1 = 1 \\ a_0 = - a_1 = -1 } . \end{aligned}\end{split}\]

Zatem rozwiązanie szczególne to $ \quad u_0(t) = \Paren{t^2 - t} e^t . $
Wielomian charakterystyczny równania jednorodnego $ \quad \ddot u + u = 0 \quad $ to

\[ w(\lambda) = \lambda^2 + 1 = \Paren{\lambda - j}\Paren{\lambda + j}, \]

więc jego pierwiastki to $ \quad -j,\, j $, $\quad$ oba krotności 1. Ponieważ

\[\begin{split} f(t) = 8\sin t \cdot e^{2t} = \Paren{ 0\cdot\cos \Paren{{\color{PWRed} 1}\cdot t} + 8\cdot \sin \Paren{{\color{PWRed} 1}\cdot t} }\cdot e^{{\color{PWBlue} 2}\cdot t} \\ \Quad{\imply} {\color{PWBlue} \AlphaColored = 2} ,\, {\color{PWRed} \OmegaColored = 1} , \end{split}\]

to $ \quad \AlphaColored + \OmegaColored j = 2 + j \quad $ nie jest pierwiastkiem $w$, więc:
- ${\color{Orange} \Krotnosc = 0} \, $
- $\deg w_1 = \deg w_2 = \max \Set{-\infty, 0} = 0 \, .$
Rozwiązanie szczególne jest postaci

\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} u_0(t) & = t^{\color{Orange} 0} \cdot\Paren{{a}\cdot\cos \Paren{{\color{PWRed} 1}\cdot t} + {b}\cdot \sin \Paren{{\color{PWRed} 1}\cdot t}} \cdot e^{{\color{PWBlue} 2}\cdot t}\\ & = {\left(a \cos\left(t\right) + b \sin\left(t\right)\right)} e^{\left(2 \, t\right)} , \\ \dot u_0(t) & = 2 \, {\left(a \cos\left(t\right) + b \sin\left(t\right)\right)} e^{\left(2 \, t\right)} + {\left(b \cos\left(t\right) - a \sin\left(t\right)\right)} e^{\left(2 \, t\right)} \\ & = {\left(2 \, a + b\right)} \cos\left(t\right) e^{\left(2 \, t\right)} - {\left(a - 2 \, b\right)} e^{\left(2 \, t\right)} \sin\left(t\right) , \\ \ddot u_0(t) & = {\left(3 \, a + 4 \, b\right)} \cos\left(t\right) e^{\left(2 \, t\right)} - {\left(4 \, a - 3 \, b\right)} e^{\left(2 \, t\right)} \sin\left(t\right) . \end{aligned}\end{split}\]

Wstawiając do równania otrzymujemy:

\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} \ddot u_0 + u_0& = {\left(3 \, a + 4 \, b\right)} \cos\left(t\right) e^{\left(2 \, t\right)} - {\left(4 \, a - 3 \, b\right)} e^{\left(2 \, t\right)} \sin\left(t\right) + {\left(a \cos\left(t\right) + b \sin\left(t\right)\right)} e^{\left(2 \, t\right)} \\ & = 4 \, {\left(a + b\right)} \cos\left(t\right) e^{\left(2 \, t\right)} - 4 \, {\left(a - b\right)} e^{\left(2 \, t\right)} \sin\left(t\right) = 8\sin t \cdot e^{2t} \\ & \Leftrightarrow \quad \Uklad{ 4(a + b) = 0 \\ -4(a - b) = 8 } \Leftrightarrow \quad \Uklad{ a = -1 \\ b = 1 } . \end{aligned}\end{split}\]

Zatem rozwiązanie szczególne to

\[\displaystyle u_0(t) = -{\left(\cos\left(t\right) - \sin\left(t\right)\right)} e^{\left(2 \, t\right)} .\]
Wielomian charakterystyczny równania jednorodnego $ \quad \ddot u + u = 0 \quad $ to

\[ w(\lambda) = \lambda^2 + 1 = \Paren{\lambda - j}\Paren{\lambda + j}, \]

więc jego pierwiastki to $ \quad -j,\, j $, $\quad$ oba krotności 1. Ponieważ

\[\begin{split} f(t) = 2\sin t - \cos t = \Paren{ -1\cdot\cos \Paren{{\color{PWRed} 1}\cdot t} + 2\cdot \sin \Paren{{\color{PWRed} 1}\cdot t} }\cdot e^{{\color{PWBlue} 0}\cdot t} \\ \Quad{\imply} {\color{PWBlue} \AlphaColored = 0} ,\, {\color{PWRed} \OmegaColored = 1} , \end{split}\]

to $ \quad \AlphaColored + \OmegaColored j = j \quad $ jest jednokrotnym pierwiastkiem $w$, więc:
- ${\color{Orange} \Krotnosc = 1} \, $
- $\deg w_1 = \deg w_2 = \max \Set{0,0} = 0 \, .$
Rozwiązanie szczególne jest postaci

\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} u_0(t) & = t^{\color{Orange} 1} \cdot\Paren{{a}\cdot\cos \Paren{{\color{PWRed} 1}\cdot t} + {b}\cdot \sin \Paren{{\color{PWRed} 1}\cdot t}} \cdot e^{{\color{PWBlue} 0}\cdot t}\\ & = {\left(a \cos\left(t\right) + b \sin\left(t\right)\right)} t , \\ \dot u_0(t) & = {\left(b \cos\left(t\right) - a \sin\left(t\right)\right)} t + a \cos\left(t\right) + b \sin\left(t\right) \\ & = {\left(b t + a\right)} \cos\left(t\right) - {\left(a t - b\right)} \sin\left(t\right) , \\ \ddot u_0(t) & = -{\left(a t - 2 \, b\right)} \cos\left(t\right) - {\left(b t + 2 \, a\right)} \sin\left(t\right) . \end{aligned}\end{split}\]

Wstawiając do równania otrzymujemy:

\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} \ddot u_0 + u_0& = -{\left(a t - 2 \, b\right)} \cos\left(t\right) - {\left(b t + 2 \, a\right)} \sin\left(t\right) + {\left(a \cos\left(t\right) + b \sin\left(t\right)\right)} t \\ & = 2 \, b \cos\left(t\right) - 2 \, a \sin\left(t\right) = - \cos t + 2\sin t \\ & \Leftrightarrow \quad \Uklad{ 2b = -1 \\ -2a = 2 } \Leftrightarrow \quad \Uklad{ b = -\frac 1 2 \\ a = -1 } . \end{aligned}\end{split}\]

Zatem rozwiązanie szczególne to

\[\displaystyle u_0(t) = -\frac{1}{2} \, t {\left(2 \, \cos\left(t\right) + \sin\left(t\right)\right)} .\]

Narration

Pora na przykład, w którym skorzystamy z Stw. 12.4.

Ćwiczenie 12.7

Rozwiążmy zagadnienie Cauchy’ego:

\[ \quad \ddot u - 4 \dot u + 5u = 65\cos 2t + 2\sin t \cdot e^{2t}, \quad u(0) = 0, \dot u (0) = 1. \]

Informacja

Pomoże rozwiązać Ćw. 13.15.

Rozwiązanie

Potrzebujemy rozwiązania ogólnego równania jednorodnego $ \quad \ddot u - 4 \dot u + 5u = 0 . \quad $ Wielomian charakterystyczny tego równania to

\[w(\lambda) = \lambda^2 - 4 \lambda + 5\]

Wyróżnik to $\Delta = 4^2 - 4\cdot 5 = -2^2$, więc jego pierwiastki to $ \quad \lambda_+ = \frac {4 + 2j} {2} = 2 + j,\, \lambda_- = 2 - j $, $\quad$ a zatem $ \quad \alpha = 2,\, \omega = 1 \quad $ i całka ogólna ma postać

\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} u_J(t) & = t \ {\mapsto}\ {\left(a \cos\left(t\right) + b \sin\left(t\right)\right)} e^{\left(2 \, t\right)} , \\ \quad a, b \in \rr. \end{aligned}\end{split}\]
Znajdujemy rozwiązanie szczególne równania $ \quad \ddot u - 4 \dot u + 5u = 65\cos 2t.$

$\quad$ Ponieważ

\[\begin{split} f_1(t) = 65\cos 2t = \Paren{ 65\cdot\cos \Paren{{\color{PWRed} 2}\cdot t} + 0\cdot \sin \Paren{{\color{PWRed} 2}\cdot t} }\cdot e^{{\color{PWBlue} 0}\cdot t} \\ \Quad{\imply} {\color{PWBlue} \AlphaColored = 0} ,\, {\color{PWRed} \OmegaColored = 2} , \end{split}\]

to $ \quad \AlphaColored + \OmegaColored j = 2j \quad $ nie jest pierwiastkiem $w$, więc:
- ${\color{Orange} \Krotnosc = 0} \, $
- $\deg w_1 = \deg w_2 = \max \Set{0,-\infty} = 0 \, .$
Rozwiązanie szczególne jest postaci

\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} u_{01}(t) & = t^{\color{Orange} 0} \cdot\Paren{{a}\cdot\cos \Paren{{\color{PWRed} 2}\cdot t} + {b}\cdot \sin \Paren{{\color{PWRed} 2}\cdot t}} \cdot e^{{\color{PWBlue} 0}\cdot t}\\ & = a \cos\left(2 \, t\right) + b \sin\left(2 \, t\right) , \\ \dot u_{01}(t) & = 2 \, b \cos\left(2 \, t\right) - 2 \, a \sin\left(2 \, t\right) \\ \ddot u_{01}(t) & = -4 \, a \cos\left(2 \, t\right) - 4 \, b \sin\left(2 \, t\right) . \end{aligned}\end{split}\]

Wstawiając do równania otrzymujemy:

\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} \ddot u - 4 \dot u + 5u& = -4 \, a \cos\left(2 \, t\right) - 4 \, b \sin\left(2 \, t\right) - 4\Paren{ 2 \, b \cos\left(2 \, t\right) - 2 \, a \sin\left(2 \, t\right) } + 5\Paren{ a \cos\left(2 \, t\right) + b \sin\left(2 \, t\right) } = 65 \cos 2t \\ & \Leftrightarrow \quad \Uklad{ a - 8b = 65 \\ 8a + b = 0 } \Leftrightarrow \quad \Uklad{ a = 1 \\ b = -8 } . \end{aligned}\end{split}\]

Zatem rozwiązanie szczególne to

\[\displaystyle \color{PWRed}u_{01}(t) = \cos\left(2 \, t\right) - 8 \, \sin\left(2 \, t\right) .\]
Znajdujemy rozwiązanie szczególne równania $ \quad \ddot u - 4 \dot u + 5u = 2\sin t \cdot e^{2t}.$

$\quad$ Ponieważ

\[\begin{split} f_2(t) = 2\sin t \cdot e^{2t} = \Paren{ 0\cdot\cos \Paren{{\color{PWRed} 1}\cdot t} + 2\cdot \sin \Paren{{\color{PWRed} 1}\cdot t} }\cdot e^{{\color{PWBlue} 2}\cdot t} \\ \Quad{\imply} {\color{PWBlue} \AlphaColored = 2} ,\, {\color{PWRed} \OmegaColored = 1} , \end{split}\]

to $ \quad \AlphaColored + \OmegaColored j = 2 + j \quad $ jest jednorodnym pierwiastkiem $w$, więc:
- ${\color{Orange} \Krotnosc = 1} \, $
- $\deg w_1 = \deg w_2 = \max \Set{-\infty, 0} = 0 \, .$
Rozwiązanie szczególne jest postaci

\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} u_{02}(t) & = t^{\color{Orange} 1} \cdot\Paren{{a}\cdot\cos \Paren{{\color{PWRed} 2}\cdot t} + {b}\cdot \sin \Paren{{\color{PWRed} 2}\cdot t}} \cdot e^{{\color{PWBlue} 2}\cdot t}\\ & = {\left(a \cos\left(t\right) + b \sin\left(t\right)\right)} t e^{\left(2 \, t\right)} , \\ \dot u_{02}(t) & = {\left({\left(2 \, a + b\right)} t + a\right)} \cos\left(t\right) e^{\left(2 \, t\right)} - {\left({\left(a - 2 \, b\right)} t - b\right)} e^{\left(2 \, t\right)} \sin\left(t\right) \\ \ddot u_{02}(t) & = {\left({\left(3 \, a + 4 \, b\right)} t + 4 \, a + 2 \, b\right)} \cos\left(t\right) e^{\left(2 \, t\right)} - {\left({\left(4 \, a - 3 \, b\right)} t + 2 \, a - 4 \, b\right)} e^{\left(2 \, t\right)} \sin\left(t\right) . \end{aligned}\end{split}\]

Wstawiając do równania otrzymujemy:

\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} \ddot u - 4 \dot u + 5u& = 2 \, b \cos\left(t\right) e^{\left(2 \, t\right)} - 2 \, a e^{\left(2 \, t\right)} \sin\left(t\right) = 2\sin t \cdot e^{2t} \\ & \Leftrightarrow \quad \Uklad{ 2b = 0 \\ -2a = 2 } \Leftrightarrow \quad \Uklad{ a = -1 \\ b = 0 } . \end{aligned}\end{split}\]

Zatem rozwiązanie szczególne to

\[\displaystyle \color{PWBlue}u_{02}(t) = -t \cos\left(t\right) e^{\left(2 \, t\right)} .\]
Korzystając z Stw. 12.4 wnioskujemy, że rozwiązaniem ogólnym równania

\[\ddot u - 4 \dot u + 5u = 65\cos 2t + 2\sin t \cdot e^{2t}\]

jest

\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} u(t) & = {\color{PWGreen} u_J(t)} + {\color{PWRed} u_{01}(t)} + {\color{PWBlue} u_{02}(t)}\\ & ={\color{PWGreen} {\left(a \cos\left(t\right) + b \sin\left(t\right)\right)} e^{\left(2 \, t\right)} } + {\color{PWRed} \cos\left(2 \, t\right) - 8 \, \sin\left(2 \, t\right) } + {\color{PWBlue} -t \cos\left(t\right) e^{\left(2 \, t\right)} }, \quad a, b \in \rr . \end{aligned}\end{split}\]
W celu znalezienia rozwiązania szczególnego obliczamy pochodną

\[\displaystyle \begin{aligned} \dot u(t) & = {\left(2 \, a + b - 2 \, t - 1\right)} \cos\left(t\right) e^{\left(2 \, t\right)} - {\left({\left(a - 2 \, b - t\right)} e^{\left(2 \, t\right)} + 4 \, \cos\left(t\right)\right)} \sin\left(t\right) + 32 \, \sin\left(t\right)^{2} - 16 . \end{aligned}\]

i rozwiązujemy układ równań:

\[\begin{split}\displaystyle \begin{aligned} \Uklad{u(0) = a + 1 = 0 \\ \dot u(0) = 2 \, a + b - 17 = 1 } \Leftrightarrow \quad \Uklad{ a = -1 \\ b = 18 - 2a = 20 } . \end{aligned}\end{split}\]

Ostateczne rozwiązanie to

\[\displaystyle \begin{aligned} u(t) = -{\left(\cos\left(t\right) - 20 \, \sin\left(t\right)\right)} e^{\left(2 \, t\right)} -t \cos\left(t\right) e^{\left(2 \, t\right)} + \cos\left(2 \, t\right) - 8 \, \sin\left(2 \, t\right) . \end{aligned}\]