Ciągłość funkcji

5. Ciągłość funkcji#

5.1. Zadania na zajęcia#

Ćwiczenie 5.6

Wyznacz równania asymptot wykresu funkcji \(f\), jeśli:

  1. \(f(x)=e^{\frac{1}{x^2-4}}\)

  2. \(f(x)=x+\arctan \Paren{\dfrac{2-x}{2+x}}\)

  3. \(f(x)=\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}.\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 4.7, Ćw. 4.8, Ćw. 4.9, Ćw. 5.1.

Ćwiczenie 5.7

Korzystając z definicji, twierdzeń, własności funkcji elementarnych podanych na wykładzie zbadaj ciągłość funkcji \(f\) w każdym punkcie należącym do jej dziedziny; w przypadku punktu nieciągłości określ jego rodzaj, jeśli \(f(x)=\begin{cases} (x+2)^2 & \text{dla } x< 1 \\ \arcsin(x-1) & \text{dla } x\in\Set{1,2} \\ \dfrac 1 {\ln(x-1)} & \text{w p.p.} \end{cases} .\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 5.2.

Ćwiczenie 5.8

Dla jakiej wartości parametrów \(a, b\in\rr\) funkcja \(f\) jest ciągła w \(\rr\), jeśli

\[\begin{split}\begin{aligned} f(x)=\begin{cases} ax+b & \text{dla } x<1 \\ \log_a x & \text{dla } 1\leq x\leq 4 \\ \displaystyle\frac{\pi}{\arctan \left(\frac{1}{x-4}\right)} & \text{dla } x> 4 \end{cases}\ . \end{aligned}\end{split}\]

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 5.2.

Ćwiczenie 5.9

Nie używając pochodnych funkcji, wykaż, że równanie

\[\ln x+2x=1\]

ma dokładnie jedno rozwiązanie w przedziale \(\left[\frac{1}{2}, 1\right]\).

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 5.3, Ćw. 5.4, Ćw. 5.5.

5.2. Zadania domowe#

Ćwiczenie 5.10

Wyznacz równania asymptot wykresu funkcji \(f\), jeśli:

  1. \(f(x)=\sqrt{x^2+2x}+x\)

  2. \(f(x)=\arcsin \Paren{\dfrac{1+x}{1-x}}\)

  3. \(f(x)=(x+1)e^{\frac 1 x}\)

  4. \(f(x)=\dfrac{2 + x\ln x }{3 \ln x}.\)

  5. \(f(x)=\dfrac 1 {\ln x + \ln (3 - x)} .\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 4.7, Ćw. 4.8, Ćw. 4.9, Ćw. 5.1.

Ćwiczenie 5.11

Korzystając z definicji, twierdzeń, własności funkcji elementarnych podanych na wykładzie uzasadnij ciągłość funkcji \(f\) w każdym punkcie należącym do jej dziedziny; w przypadku punktu nieciągłości określ jego rodzaj, jeśli:

  1. \(f(x)=\begin{cases} e^{\frac{1}{x}} & \text{dla } x\neq 0 \\ 0 & \text{dla } x=0 \end{cases}\)

  2. \( \begin{aligned} f(x)=\begin{cases} (x+2)^2 & \text{dla } x=-1 \\ \arcsin(x-1) & \text{dla } x=1 \\ (1-x)\arctan \left(\displaystyle\frac{1}{1-x^2}\right) & \text{w p.p.} \end{cases} \end{aligned} \)

  3. \( \begin{aligned} f(x)=\begin{cases} \displaystyle\frac{x}{\sin x} & \text{dla } x\in(-\pi, 2\pi)\setminus\Set{0, \pi} \\ \sin x & \text{dla } x\in\Set{0, \pi} \end{cases} \end{aligned} \)

  4. \( \begin{aligned} f(x)= \begin{cases} \arcctg \left(\displaystyle\frac{1}{x}\right) & \text{dla } x\neq 0 \\ 0 & \text{dla } x=0 \end{cases}\ . \end{aligned} \)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 5.2.

Ćwiczenie 5.12

Dla jakiej wartości parametrów \(a, b\in\rr\) funkcja \(f\) jest ciągła w \(\rr\), jeśli \(f(x)=\begin{cases} b+3(x-1)^2 & \text{dla } x\leq 0 \\ x\cdot\sin\frac{a}{x} & \text{dla } x>0 \end{cases} .\)

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 5.2.

Ćwiczenie 5.13

Wykaż, że równanie \(e^x-2\cos x=0\) ma pierwiastek w przedziale \((0, 1)\).

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 5.4, Ćw. 5.3, Ćw. 5.5.

Ćwiczenie 5.14

Nie używając pochodnych funkcji, uzasadnij, że równanie \(x^x=3\) ma dokładnie jedno rozwiązanie w przedziale \((1, 2)\).

Informacja

Warto spojrzeć na Ćw. 5.5, Ćw. 5.3, Ćw. 5.4.